Probabilité conditionnelle

Considérons un dé équilibré à six faces, où les faces paires sont coloriées en blanc et les faces impaires sont coloriées en noir[1]. Sur un lancer de dé, la probabilité d'obtenir un 6 est 1/6. Mais, loin du dé, on perçoit que la face est blanche. La probabilité d'obtenir 6 est de 1/3 car il faut prendre la nouvelle information « il est apparu un nombre pair » en compte.

On décide de lancer une pièce de monnaie deux fois de suite[2]. La probabilité que le premier lancer donne pile est de 1/2. Supposons maintenant qu'une personne nous informe que l'un des lancers au moins a donné Pile. Parmi les quatre scénarios possibles, à savoir Face puis Face, Face puis Pile, Pile puis Face, Pile puis Pile, le scénario Face puis Face n'est plus à considérer. Le premier lancer est Pile dans deux des trois scénarios restants (Face puis Pile, Pile puis Face, Pile puis Pile). Ainsi, la probabilité que le premier lancer donne Pile, sachant qu'au moins l'un des deux lancers donne Pile est de 2/3. Le tableau résume la situation, les probabilités que le premier lancer donne pile (1/2 ou 2/3, respectivement) s'obtiennent en faisant la somme des deux dernières lignes.

La définition de la probabilité conditionnelle peut aussi être obtenue d'un point de vue fréquentiste[5]. En effet, la probabilité d’un événement est définie (selon ce point de vue) comme la fréquence limite d’observation de cet évènement. On répète l’expérience aléatoire ${\displaystyle n}$ fois, avec ${\displaystyle n}$ un entier très grand. On observe que l’événement ${\displaystyle B}$ s’est réalisé ${\displaystyle n_{B}}$ fois. Ainsi, on a ${\displaystyle \mathbb {P} (B)\simeq {\frac {n_{B}}{n}}}$. On compte aussi, parmi les ${\displaystyle n_{B}}$ tirages où ${\displaystyle B}$ s’est réalisé exclusivement, le nombre de fois que l'événement ${\displaystyle {\ce {A}}}$ s’est réalisé. On note ${\displaystyle n_{A\cap B}}$ l’entier obtenu. Par conséquent, on a ${\displaystyle \mathbb {P} (A\mid B)\simeq {\frac {n_{A\cap B}}{n_{B}}}}$. Aussi, ${\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B)\simeq {\frac {n_{A\cap B}}{n}}}$. On remarque que ${\displaystyle {\frac {n_{A\cap B}}{n_{B}}}={\frac {n_{A\cap B}/n}{n_{B}/n}}}$.

La probabilité d'avoir fait un 6 au lancer de dé sachant que le résultat est pair devient :

${\displaystyle \mathbb {P} ({\text{faire un 6}}\mid {\text{nombre pair}})={\frac {\mathbb {P} ({\text{faire un 6}}\cap {\text{nombre pair}})}{\mathbb {P} ({\text{nombre pair}})}}={\frac {1/6}{1/2}}={\frac {1}{3}}}$.

La probabilité d'avoir fait Pile au premier lancer sachant qu'il y a au moins un lancer avec Pile sur deux s'obtient par :

${\displaystyle \mathbb {P} ({\text{premier lancer fait pile}}\mid {\text{au moins un pile}})={\frac {\mathbb {P} ({\text{premier lancer fait pile}}\cap {\text{au moins un pile}})}{\mathbb {P} ({\text{au moins un pile}})}}={\frac {1/2}{3/4}}={\frac {2}{3}}.}$

Cet exemple correspond plus immédiatement à la définition ensembliste. Dans un univers d'une classe de lycée, soit B l'événement « un élève est une fille » et A « un élève pratique l'allemand »[6].

Univers de probabilité (${\displaystyle \Omega }$) = Classe de lycée.
	${\displaystyle B}$ (Fille)	${\displaystyle \neg B}$ (Garçon)	Totaux
${\displaystyle A}$ (Allemand)	10	7	17
${\displaystyle \neg A}$ (Pas allemand)	4	9	13
Totaux	14	16	30

On interroge au hasard une fille de la classe (B). Quelle est la probabilité qu'elle pratique l'allemand (P(A|B)) ?

${\displaystyle \mathbb {P} (Allemand\mid Fille)=\mathbb {P} (A\mid B)={\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}}}$

${\displaystyle \mathbb {P} (B)={\frac {\operatorname {card} (B)}{\operatorname {card} (\Omega )}}={\frac {14}{30}}}$

${\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B)={\frac {\operatorname {card} (A\cap B)}{\operatorname {card} (\Omega )}}={\frac {10}{30}}}$

d'où

${\displaystyle \mathbb {P} (A\mid B)={\frac {\frac {10}{30}}{\frac {14}{30}}}={\frac {10}{14}}\approx 71\,\%}$.