Code quantique

Étant donné un système physique dont l'espace des états est ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, un sous-espace ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {H}}}$ est appelé code quantique pour l'ensemble d'erreurs ${\displaystyle {\mathcal {E}}=\{E_{a}\}}$, s'il existe une opération quantique ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$, dite de correction ou de décodage, telle que ${\displaystyle ({\mathcal {R}}\circ E_{a})(\left|\psi \right\rangle )=\left|\psi \right\rangle }$ pour tout ${\displaystyle E_{a}\in {\mathcal {E}}}$, ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle \in C}$.

De manière opérationnelle, on peut utiliser la condition suivante: un code ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ corrige les erreurs ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ si et seulement si

${\displaystyle \left\langle \psi _{i}\right|E_{a}^{\dagger }E_{b}\left|\psi _{j}\right\rangle =C_{ab}\delta _{ij}}$

où ${\displaystyle E_{a},E_{b}\in {\mathcal {E}}}$ et ${\displaystyle \{\left|\psi _{i}\right\rangle \}}$ forment une base orthonormée de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Deux points importants sont à noter. Tout d'abord deux états orthogonaux le sont toujours après l'application d'une erreur. Ensuite, le préfacteur ${\displaystyle C_{ab}}$ est indépendant des choix de mots codes ${\displaystyle i}$ et ${\displaystyle j}$.

Le qubit, analogue quantique du bit classique, est souvent utilisé comme unité fondamentale de l'information quantique. C'est pourquoi on note souvent les propriétés d'un code [[n,k,d]], où n est le nombre de qubits physiques, k, le nombre de qubits encodés et d, la distance du code. La distance du code correspond au nombre minimal de qubits devant être affectés pour passer d'un état encodé à un autre.

En 1996, deux groupes de recherche découvrent indépendamment d'importants codes quantiques. La classe de codes CSS a été découverte par Calderbank (en) et Shor, puis par Steane (en). Les codes stabilisateurs les ont maintenant remplacés. Ceux-ci ont été développés, encore une fois, indépendamment par Calderbank, Rains, Shor et Sloane, puis Gottesman (en).

Dès 1992, on considère aussi le problème de la protection de bits classiques avec des codes quantiques. C'est ainsi que Bennett et Wiesner développent le codage super-dense.

Les codes quantiques diffèrent de leurs homologues classiques de par les difficultés particulières au quantique :

1. Impossibilité du clonage quantique
2. Continuité des erreurs quantiques
3. Fragilité de l'information quantique face aux mesures

Néanmoins, l'informatique quantique fournit des outils pour les gérer. Par exemple, pour le canal d'inversion de bit, un code quantique semblable au code de répétition classique existe.

Autres codes quantiques :

• Code de Kitaev ;
• code stabilisateur.

Sécurisation des transactions financières mobiles[1].