Code de Kitaev

Il existe deux types de stabilisateurs pour ce code. Les stabilisateurs de sommets ${\displaystyle A_{s}}$ et les stabilisateurs de plaquettes ${\displaystyle B_{p}}$. En terme des opérateurs de Pauli, on exprime ces stabilisateurs comme:

${\displaystyle A_{s}=\prod _{i\in V(s)}\sigma _{i}^{x},\,\,B_{p}=\prod _{i\in V(p)}\sigma _{i}^{z}.}$

avec ${\displaystyle V(s)}$ correspondant à l'ensemble des arêtes sortant du sommet ${\displaystyle s}$ et ${\displaystyle V(p)}$ l'ensemble des arêtes autour des plaquettes ${\displaystyle p}$.

Connaissant le nombre de qubits physiques et de stabilisateurs indépendants (générateurs), on peut montrer que ce code permet d'encoder 2 qubits logiques.

L'Hamiltonien de ce système est donné par

${\displaystyle H=-\left(\sum _{s}A_{s}+\sum _{p}B_{p}\right)}$

De plus, on note les relations de commutations suivantes :

${\displaystyle [A_{s},A_{s}']=0}$ ; ${\displaystyle [B_{p},B_{p}']=0}$ ; ${\displaystyle [A_{s},B_{p}]=0}$

et l'état fondamental de l'Hamiltonien ${\displaystyle |\psi \rangle }$ correspond aussi à l'état code tel que

${\displaystyle A_{s}|\psi \rangle =|\psi \rangle ,\,\,\forall v,\,\,B_{p}|\psi \rangle =|\psi \rangle ,\,\,\forall p,}$