Effet Hartman

Pour un mode donné appartenant au spectre du paquet d'ondes, le coefficient de transmission en amplitude peut s'exprimer en fonction de son module et de sa phase, tous les deux fonctions du potentiel correspondant à la barrière et de l'énergie E :

${\displaystyle {\mathcal {T}}\,=\,|{\mathcal {T}}|\exp(i\alpha )\;.}$

Une analyse par la méthode de la phase stationnaire, appliquée sur la partie incidente du paquet d'ondes (de spectre spatial assez fin) et sur sa partie transmise, montre que la durée entre l'arrivée du sommet du paquet incident et la sortie du paquet transmis prend la forme simple :

${\displaystyle \tau _{\varphi }\,=\,\hbar \,{\frac {\partial \alpha }{\partial E}}\;.}$

On s'aperçoit alors que cette durée tend vers une valeur constante pour des largeurs L de barrière tunnel croissantes. Ceci permet d'envisager une grandeur ayant les dimensions d'une vitesse, V = L/${\displaystyle \tau _{\varphi }}$, pouvant atteindre ou dépasser la vitesse de la lumière.

Un paquet d'ondes gaussien (représentatif d'une particule de masse non nulle) d'énergie faible est incident sur une barrière quantique. La figure, un instantané du passage révèle, outre le phénomène d'interférences entre le paquet réfléchi et le paquet incident, le sommet du paquet transmis, qui apparaît en avance par rapport au même paquet qui n'aurait pas eu à subir la barrière de potentiel (courbe en pointillés). Une telle figure est obtenue pour une transmittivité faible et la partie transmise a donc été augmentée d'un facteur important afin de la rendre visible.

Le cartouche fournit un zoom du sommet. L'analyse théorique (et numérique) montre que l'avance du paquet transmis a deux composantes : l'une est l'effet Hartman, l'autre est due au filtrage des fréquences, menant à une déformation du paquet transmis (il n'est plus tout à fait gaussien) favorisant les hautes fréquences ; il s'ensuit que le paquet transmis prendra, au cours du temps, une avance de plus en plus importante.