Série divergente

La notion de convergence a donné lieu chez les mathématiciens grecs à des interrogations « philosophiques » bien représentées par les paradoxes de Zénon ; de plus, la convergence (ou non) de certaines séries telle que la série harmonique (dont la divergence a été démontrée au Moyen Âge par le mathématicien Nicole Oresme), nullement intuitive, demande des définitions précises. Bien que celles-ci n'aient été données rigoureusement qu'au 19^e siècle, la non-convergence de la série de Grandi, ou la divergence grossière de la série 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ est clairement comprise dès le 17^e siècle. Leonhard Euler semble avoir été le premier à utiliser néanmoins de telles séries divergentes en étant pleinement conscient de l'apparente absurdité de ce qu'il écrivait[1] ; on retrouve des remarques analogues sous la plume d'Abel[2] et de Ramanujan[3]. Cependant, l'explication du succès de leurs méthodes ne sera donnée qu'à la suite des travaux de Borel et de Hardy vers 1930 ; des applications plus précises, en particulier en physique ou en analyse numérique, ne sont justifiées qu'à partir des années 1990.

Une première façon de définir la somme d'une série divergente consiste à changer la topologie de l'ensemble des nombres sur lesquels on travaille. Rappelons que la série de terme général ${\displaystyle a_{n}}$ converge vers S lorsque la suite ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ des sommes partielles ${\displaystyle A_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}}$ tend vers S (noté alors ${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}}$), c'est-à-dire lorsque ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|S-A_{n}|=0}$. Cette définition dépend cependant du choix de la norme | |, et il est possible de définir ainsi, par exemple, la limite d'une série divergente (au sens usuel) de rationnels, en choisissant sur ceux-ci une distance différente de la valeur absolue. Le théorème d'Ostrowski montre cependant que seules les valeurs absolues p-adiques possèdent suffisamment de propriétés convenables, ce qui ne permet de sommer que quelques séries divergentes, comme par exemple la série géométrique ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }R^{n}}$, qui converge vers ${\displaystyle {\frac {1}{1-R}}}$ dans le corps des nombres p-adiques si p divise R. 

Une méthode de sommation est une fonction partant d'un certain sous-ensemble de l'ensemble des suites de sommes partielles de séries à termes réels ou complexes (qui s'identifie naturellement à l'ensemble des suites à termes réels ou complexes, mais il est usuel et donc plus pratique de ne pas faire cette identification quand on parle de série), et à valeurs dans l'ensemble des nombres réels ou complexes. On fixe les notations suivantes : (a_n) est une suite de nombres réels ou complexes, s est la série de terme général a_n, et ses sommes partielles sont notées ${\displaystyle s_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}}$. Les premières propriétés à discuter concernant une méthode de sommation M sont :

1. la régularité. Une méthode de sommation M est dite régulière si, dès que la suite de sommes partielles (s_n) est convergente vers une limite S, l'identité M(s)=S est vérifiée.
2. la linéarité. La méthode M est dite linéaire si son ensemble de départ admet une structure d'espace vectoriel (réel ou complexe), et qu'elle définit une application linéaire de cet espace dans l'ensemble d'arrivée.
3. la stabilité. On définit une deuxième série s' à partir de la série s par décalage, en posant que son terme général est a'_n=a_n+1 (ou encore que sa somme partielle est s'_n=s_n+1-s₀). La méthode M est dite stable si l'appartenance de s' à l'ensemble de départ de M est équivalente à celle de s, et si, dans ce cas, on a l'identité : M(s' )=M(s)-a₀.

Certaines méthodes importantes, telles que la sommation de Borel ne sont pas stables. Du point de vue numérique, l'abandon des propriétés de régularité et de linéarité permet aussi d'aboutir à des méthodes puissantes, comme celle des approximants de Padé. Le changement de topologie mentionné au paragraphe précédent n'est pas non plus une méthode régulière : il est possible de construire des suites de rationnels convergeant simultanément dans les réels et dans les p-adiques, mais vers des valeurs rationnelles distinctes[4].

La comparaison de deux méthodes distinctes de sommation peut se faire à travers les notions suivantes : deux méthodes A et B sont dites compatibles (ou consistantes) si elles assignent la même valeur à chaque série qu'elles somment toutes deux. Entre deux méthodes compatibles, si l'une parvient à sommer toutes les séries que l'autre parvient à sommer, elle est dite plus forte.

Le point de vue axiomatique consiste à trouver des conséquences sur les propriétés d'une méthode de sommation à partir des propriétés de base. Par exemple, toute méthode régulière, stable et linéaire qui parvient à sommer les séries géométriques de raison r différente de 1 les somme à la même valeur, spécifiée dans le calcul suivant :

${\displaystyle {\begin{aligned}G(r,c)&=\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}&&\\&=c+\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k+1}&&{\mbox{ (par stabilité) }}\\&=c+r\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}&&{\mbox{ (par linéarité) }}\\&=c+r\,G(r,c),&&{\mbox{ donc }}\\G(r,c)&={\frac {c}{1-r}}.&&\\\end{aligned}}}$

Une méthode de sommation M est dite régulière si les résultats qu'elle fournit sont, pour les séries convergentes, les mêmes que les sommes de ces séries au sens classique. Un tel résultat porte le nom général de théorème abélien, et le théorème d'Abel portant sur la valeur des séries entières sur le cercle de convergence, en est un prototype. Les théorèmes taubériens sont des résultats réciproques, assurant qu'une méthode M de sommation étant fixée, toute série sommée par cette méthode vérifiant une certaine condition supplémentaire (dépendant de la méthode) est en fait une série convergente. Demander une condition supplémentaire est important, puisqu'une méthode vérifiant un théorème taubérien sans une telle condition ne serait en fait pas capable de sommer d'autres séries que les convergentes, et donc sans intérêt pour l'étude des séries divergentes.

L'opérateur qui assigne à une série convergente sa somme est linéaire ; de plus, d'après le théorème de Hahn-Banach, il peut être prolongé en un opérateur linéaire sur l'espace des séries dont la suite des sommes partielles est bornée. Cependant, cette manière d'attaquer le problème s'avère peu fertile : d'une part, la démonstration obtenue ainsi repose sur le lemme de Zorn, et est donc non constructive ; d'autre part, il n'y a aucun résultat d'unicité, et les différentes méthodes de sommation obtenues sont peu compatibles.

Le problème de la sommation des séries divergentes est ainsi centré sur la recherche des méthodes explicites, telles que la sommation d'Abel, le lemme de Cesàro, ou la sommation de Borel, et leurs relations. Les théorèmes taubériens forment aussi un sujet important ; notamment à travers le théorème taubérien de Wiener qui éclaira des liens inattendus entre l'analyse de Fourier et les méthodes issues de l'étude des algèbres de Banach.

La sommation des séries divergentes est aussi liée aux méthodes d'extrapolation et aux méthodes de transformation de suite, telles que les approximants de Padé.

Soit p = (p_n) une suite à termes positifs et vérifiant la convergence :

${\displaystyle {\frac {p_{n}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{n}}}\rightarrow 0.}$

Soit une suite s, de terme général s_m. Sa moyenne de Nörlund relativement à la suite p est la limite de la suite de terme général :

${\displaystyle t_{m}={\frac {p_{m}s_{0}+p_{m-1}s_{1}+\cdots +p_{0}s_{m}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{m}}},}$

et elle est notée N_p(s).

Ces méthodes de sommations sont régulières, linéaires, stables, et consistantes entre elles. Pour k entier strictement positif, le cas particulier de la suite p^(k) de terme général :

${\displaystyle p_{n}^{(k)}={n+k-1 \choose k-1}={\frac {(n+k-1)!}{(k-1)!\ n!}}={\frac {\Gamma (n+k)}{\Gamma (k)\Gamma (n+1)}}}$

est la méthode de sommation de Cesàro d'ordre k, notée C_k, avec donc : C_k(s) = N_(p^(k))(s). On prolonge généralement cette définition en notant C₀ la sommation usuelle des séries convergentes ; C₁ est la sommation de Cesàro ordinaire, puisque ${\displaystyle p_{n}^{(1)}=1}$. Pour h > k, la sommation de Cesàro d'ordre h est plus forte que celle d'ordre k.

Soit λ = {λ₀, λ₁, λ₂, …} une suite de réels positifs strictement croissante tendant vers l'infini. La somme d'Abel liée à la suite λ d'une série s de terme général a_n est

${\displaystyle A_{\lambda }(s)=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}f(x),}$

sous la condition que la somme suivante définissant la fonction f soit convergente pour x assez proche de 0 :

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}x}.}$

Les séries de cette forme sont des généralisations des séries de Dirichlet.

Ces méthodes de sommation sont régulières, linéaires, stables, mais il n'y a pas en général consistance entre deux telles méthodes (c'est-à-dire pour deux choix distincts de λ).

Les méthodes précédentes peuvent être interprétées comme des valeurs de fonctions associées à la série ; plusieurs autres méthodes de sommation se basent sur un prolongement analytique d’une telle fonction.

Paradoxalement, l'utilisation de séries divergentes (venant typiquement de développements asymptotiques) en calculant seulement les sommes partielles tronquées au terme le plus petit donne souvent des résultats numériques plus précis (et avec moins de calculs) que ceux obtenus à l'aide de séries convergentes[8]. En physique théorique, dans de nombreuses situations, par exemple le problème à N corps en mécanique céleste lorsque N > 2, le problème à N corps en relativité générale lorsque N > 1, le problème à N > 2 corps en mécanique quantique, la théorie quantique des champs perturbative du « modèle standard » etc., on ne peut calculer des solutions qu'au moyen de la théorie des perturbations, qui fournit des résultats sous la forme de séries qui sont le plus souvent divergentes, mais pour lesquelles la méthode des sommes partielles donne d'excellentes approximations.