Effet Casimir

Une équipe de l'université de Berkeley a mis en évidence que l'effet Casimir permettait la transmission de phonons à travers le vide[3] ce qui révèle un nouveau mode de transfert thermique dans le vide.

Soient deux grandes plaques métalliques planes de surface ${\displaystyle S}$, parallèles entre elles, et séparées par une distance Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikipedia.org/v1/ » :): L . On suppose que, si les plaques sont rectangulaires[4] avec ${\displaystyle \scriptstyle S=D\cdot H\,}$, l'espacement ${\displaystyle L}$ entre les deux plaques parallèles est petit par rapport aux longueurs ${\displaystyle D}$ et ${\displaystyle H}$. On peut alors calculer une force par unité de surface en négligeant les effets de bords.

On suppose de plus que les plaques sont des conducteurs parfaits de conductivité électrique infinie, et qu'elles ne sont pas chargées.

L'effet étant d'origine quantique et relativiste, on s'attend à ce que la force par unité de surface de Casimir dépende des deux constantes fondamentales :

• la vitesse de la lumière dans le vide ${\displaystyle c}$ ;
• la constante de Planck réduite ${\displaystyle \hbar }$.

De plus, il est plus que probable que l'effet dépende aussi de la distance ${\displaystyle L}$ entre les plaques.

On postule donc que la force par unité de surface s'écrit :

${\displaystyle {\frac {dF}{dS}}\ =\ k\ L^{\alpha }\ c^{\beta }\ \hbar ^{\gamma }}$

où ${\displaystyle k}$ est un nombre pur, sans dimension, et ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ trois nombres à déterminer. L'analyse dimensionnelle donne le système d'équations :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\gamma \ &=\ +\ 1\\\alpha \ +\ \beta \ +\ 2\,\gamma \ &=\ -\ 1\\-\ \beta \ -\ \gamma \ &=\ -\ 2\end{matrix}}\right.}$

dont la solution unique est : ${\displaystyle \beta =\gamma =1}$ et ${\displaystyle \alpha =-\,4}$, soit :

${\displaystyle {\frac {dF}{dS}}\ =\ k\ {\frac {\hbar \,c}{L^{4}}}}$

Le calcul exact, fait par Casimir en 1948, suppose une température thermodynamique identiquement nulle : ${\displaystyle T=0}$ K. Il donne une valeur non nulle négative de la constante ${\displaystyle k}$ :

${\displaystyle {\frac {dF}{dS}}\ =\ -\ {\frac {\pi ^{2}}{240}}\ {\frac {\hbar \,c}{L^{4}}}}$

Le signe moins indique que cette force est attractive. Le lecteur intéressé par ce calcul le trouvera détaillé dans l'article de revue de Duplantier[1]. La norme de la force attractive de Casimir entre deux plateaux d'aire A séparés par une distance L peut être calculée par la formule :

${\displaystyle F\ =\ {\frac {\pi ^{2}}{240}}\ {\frac {\hbar \,c}{L^{4}}}\ A}$

Les expériences réelles ayant toutes lieu à température finie : ${\displaystyle T>0}$, il faut estimer ces effets de température, essentiellement dus au rayonnement du corps noir. Introduisons la « température inverse » ${\displaystyle \beta =1/(kT)}$, où ${\displaystyle k}$ est la constante de Boltzmann. L'analyse dimensionnelle montre que le paramètre :

${\displaystyle \alpha \ =\ {\frac {\pi \beta \hbar c}{L}}}$

est sans dimension. On étudie alors la limite réaliste de courte distance ${\displaystyle L\to 0}$ à température ${\displaystyle T}$ fixée[5], correspondant au cas où ${\displaystyle \alpha \gg 1}$. Dans cette limite, on obtient[1] :

${\displaystyle {\frac {dF}{dS}}\ =\ -\ {\frac {\pi ^{2}}{240}}\ {\frac {\hbar \,c}{L^{4}}}\ -\ {\frac {\pi ^{2}}{45}}\ {\frac {1}{\beta }}\ {\frac {1}{(\beta \hbar c)^{3}}}\ +\ {\frac {1}{\beta }}\ {\frac {\pi }{L^{3}}}\ e^{-\,\alpha }\ +\ O(e^{-\,2\,\alpha })}$

Le premier terme est le terme de Casimir à température nulle, le deuxième est la contribution attractive due au rayonnement du corps noir dans un volume infini, et le troisième et dernier correspond aux corrections de taille finie dues aux plaques sur la contribution du rayonnement du corps noir.

À la température ambiante : ${\displaystyle T\sim 300\ K}$ et pour un espacement réaliste ${\displaystyle L\sim 0.5\ \mu m}$, la valeur numérique de ${\displaystyle \alpha \sim 48}$ : le troisième terme correspondant aux corrections de taille finie sur la contribution du rayonnement du corps noir, en ${\displaystyle e^{-\,\alpha }}$, est donc totalement négligeable en pratique.

Quant au rapport (sans dimension) du second terme sur le premier, il vaut alors :

${\displaystyle \gamma \ =\ {\frac {\mathrm {corps~noir} }{\mathrm {Casimir~a~} T=0}}\ =\ {\frac {240}{45}}\ {\frac {L^{4}}{(\beta \hbar c)^{4}}}\ \sim \ 10^{-4}}$

Dans les conditions expérimentales usuelles, tout se passe donc comme si on était à température nulle. Le lecteur intéressé par une analyse détaillée la trouvera dans l'article de revue de Duplantier[1].

• Bertrand Duplantier ; Introduction à l'effet Casimir, séminaire Poincaré (Paris, 9 mars 2002), publié dans : (en) Bertrand Duplantier et Vincent Rivasseau (en), Poincaré Seminar (Paris, 9 mars 2002) : vacuum energy-renormalization, Basel Boston, Birkhäuser Verlag, 2003, 331 p. (ISBN 3-7643-0579-7, lire en ligne).
• Roger Balian ; Effet Casimir et géométrie, séminaire Poincaré (Paris, 9 mars 2002), publié dans : (en) Bertrand Duplantier et Vincent Rivasseau (en), Poincaré Seminar (Paris, 9 mars 2002) : vacuum energy-renormalization, Basel Boston, Birkhäuser Verlag, 2003, 331 p. (ISBN 3-7643-0579-7, lire en ligne).
• (en) Astrid Lambrecht & Serge Reynaud ; Recent experiments on the Casimir effect: description and analysis, séminaire Poincaré (Paris, 9 mars 2002), publié dans : Bertrand Duplantier et Vincent Rivasseau (en) (Eds.) ; Poincaré Seminar 2002, Progress in Mathematical Physics 30, Birkhäuser (2003), (ISBN 3-7643-0579-7). lire en ligne[PDF].

• (en) Bernard Jancovici & Ladislav Samaj ; Casimir force between two ideal-conductor walls revisited, Europhysics Letter 72 (2005), 35. ArXiv : cond-mat/0506363.
• (en) P. R. Buenzli & Philippe A. Martin ; The Casimir force at high temperature, Europhysics Letter 72(1) (2005), 42-48. ArXiv : cond-mat/0506303.
• (en) Philippe A. Martin & P. R. Buenzli ; The Casimir Effect, Acta Physica Polonica B (à paraître : 2006). Notes de cours pour les proceedings of the 1st Warsaw School of Statistical Physics, Kazimierz, Poland (juin 2005). ArXiv : cond-mat/0602559.

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