Somme de Ramanujan

Ces formules proviennent de la formule d'Euler et des identités trigonométriques élémentaires.

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}(n)&=1\\c_{2}(n)&=\cos n\pi =(-1)^{n}\\c_{3}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{3}}n\pi =j^{n}+j^{2n}\\c_{4}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{2}}n\pi =i^{n}+(-i)^{n}\\c_{5}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{5}}n\pi \\c_{6}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{3}}n\pi \\c_{7}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {6}{7}}n\pi \\c_{8}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{4}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{4}}n\pi \\c_{9}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {8}{9}}n\pi \\c_{10}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{5}}n\pi \\\end{aligned}}}$

et ainsi de suite ( A000012,  A033999,  A099837,  A176742,  A100051...). Cela montre que c_q(n) est toujours un nombre réel (algébrique, comme somme de racines de l'unité).

Posons ${\displaystyle \zeta _{q}=e^{\frac {2\pi i}{q}}.}$ ζ_q est donc une solution de l'équation x^q − 1 = 0. Chacune de ses puissances ζ_q, ζ_q², ... ζ_q^q = ζ_q⁰ = 1 est également une solution, et puisque ces q nombres sont distincts, ce sont toutes les solutions de l'équation. Les ζ_qⁿ où 1 ≤ n ≤ q sont appelées les racines q-èmes de l'unité. ζ_q est appelée une racine primitive, parce que la plus petite valeur de n telle que ζ_qⁿ = 1 est q. Les autres racines primitives sont les ${\displaystyle \zeta _{q}^{a}}$, où a et q sont premiers entre eux. Donc, il y a φ(q) racines primitives q-ièmes de l'unité.

La somme de Ramanujan c_q(n) est somme de puissances n-ièmes des racines primitives q-ièmes de l'unité[3].

Exemple. Supposons q = 12. Alors

ζ₁₂, ζ₁₂⁵, ζ₁₂⁷, et ζ₁₂¹¹ sont les racines primitives douzièmes de l'unité,

ζ₁₂² et ζ₁₂¹⁰ sont les racines primitives sixièmes de l'unité,

ζ₁₂³ = i et ζ₁₂⁹ = −i sont les racines primitives quatrièmes de l'unité,

ζ₁₂⁴ et ζ₁₂⁸ sont les racines primitives troisièmes de l'unité.

Par conséquent, si

${\displaystyle \eta _{q}(n)=\sum _{k=1}^{q}\zeta _{q}^{kn}}$

est la somme de la n-ième puissance de toutes les racines primitives et imprimitives,

${\displaystyle \eta _{q}(n)=\sum _{d\,\mid \,q}c_{d}(n),}$

on a par la formule d'inversion de Möbius,

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{d\,\mid \,q}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)\eta _{d}(n).}$

Il résulte de l'identité x^q − 1 = (x − 1)(x^q-1 + x^q-2 + ... + x + 1) que

${\displaystyle \eta _{q}(n)={\begin{cases}0&\;{\mbox{ si }}q\nmid n\\q&\;{\mbox{ si }}q\mid n\\\end{cases}}}$

et cela conduit à la formule

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{d\,\mid \,(q,n)}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)d}$,

publiée par Kluyver en 1906[4].

Cela montre que c_q(n) est toujours un entier ; cette formule est analogue à la formule classique sur l'indicatrice d'Euler :

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{d\,\mid \,q}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)d.}$

Il est facile de démontrer à partir de la définition que c_q(n) est multiplicative, lorsqu'elle est considérée comme une fonction de q pour une valeur fixe de n[5], c'est-à-dire que :

${\displaystyle {\mbox{si }}\;(q,r)=1\;{\mbox{ alors }}\;c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{qr}(n).}$

À partir de la définition (ou de la formule de Kluyver), il est facile de prouver que, si p est un nombre premier,

${\displaystyle c_{p}(n)={\begin{cases}-1&{\mbox{ if }}p\nmid n\\\phi (p)&{\mbox{ if }}p\mid n\\\end{cases}},}$

et si p^k est un nombre premier élevé à la puissance k où k > 1, alors :

${\displaystyle c_{p^{k}}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}p^{k-1}\nmid n\\-p^{k-1}&{\mbox{ if }}p^{k-1}\mid n{\mbox{ and }}p^{k}\nmid n\\\phi (p^{k})&{\mbox{ if }}p^{k}\mid n\\\end{cases}}.}$

Ce résultat et la propriété multiplicative peuvent être utilisés pour montrer que

${\displaystyle c_{q}(n)=\mu \left({\frac {q}{(q,n)}}\right){\frac {\phi (q)}{\phi \left({\frac {q}{(q,n)}}\right)}}.}$

Cette expression est appelée la fonction arithmétique de von Sterneck[6]. L'équivalence de cette fonction et de celle de Ramanujan est due à Hölder[7] - [8].

Pour tous les entiers positifs q,

${\displaystyle c_{1}(q)=1,\;\;c_{q}(1)=\mu (q),\;{\mbox{ et }}\;c_{q}(q)=\phi (q).}$

${\displaystyle {\mbox{si }}m\equiv n{\pmod {q}}{\mbox{ alors }}c_{q}(m)=c_{q}(n).}$

Pour q fixé, les valeurs absolues des termes de la suite c_q(1), c_q(2), ... sont majorées par φ(q), et pour n fixé, les valeurs absolues des termes de la suite c₁(n), c₂(n), ... sont majorées par n.

Si q > 1

${\displaystyle \sum _{n=a}^{a+q-1}c_{q}(n)=0.}$

Posant m = ppcm(m₁, m₂), les sommes de Ramanujan satisfont une propriété d'orthogonalité[9] :

${\displaystyle {\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}c_{m_{1}}(k)c_{m_{2}}(k)={\begin{cases}\phi (m)&m_{1}=m_{2}=m,\\0&{\text{sinon}}\end{cases}}}$

Supposez n, k > 0. Alors[10]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {d\mid n}{\gcd(d,k)=1}}d\;{\frac {\mu ({\tfrac {n}{d}})}{\phi (d)}}={\frac {\mu (n)c_{n}(k)}{\phi (n)}},}$

connu comme l'identité Brauer-Rademacher.

Si n > 0 et a est un entier, on a aussi[11]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}c_{n}(k-a)=\mu (n)c_{n}(a).}$

Les séries génératrices des sommes de Ramanujan sont des séries de Dirichlet :

${\displaystyle \zeta (s)\sum _{\delta \,\mid \,q}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta ^{1-s}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{n^{s}}}}$

est une série génératrice de la séquence c_q(1), c_q(2), ... où q est maintenue constante, et

${\displaystyle {\frac {\sigma _{r-1}(n)}{n^{r-1}\zeta (r)}}=\sum _{q=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{r}}}}$

est une fonction génératrice de la séquence c₁(n), c₂(n), ..., où n est maintenu constant.

Il y a aussi la double série de Dirichlet

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (r+s-1)}{\zeta (r)}}=\sum _{q=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{r}n^{s}}}.}$

σ_k(n) est la somme de la k-ème puissance des diviseurs de n, y compris 1 et n. σ₀(n), le nombre de diviseurs de n, est généralement écrit d(n) et σ₁(n), la somme des diviseurs de n, est généralement écrit σ(n).

Si s > 0,

${\displaystyle \sigma _{s}(n)=n^{s}\zeta (s+1)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s+1}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s+1}}}+\dots \right)}$

et

${\displaystyle \sigma _{-s}(n)=\zeta (s+1)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s+1}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s+1}}}+\dots \right).}$

Mettons s = 1, nous avons alors

${\displaystyle \sigma (n)={\frac {\pi ^{2}}{6}}n\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}+{\frac {c_{2}(n)}{4}}+{\frac {c_{3}(n)}{9}}+\dots \right).}$

Si l'hypothèse de Riemann est vraie, et

${\displaystyle \sigma _{s}(n)=\zeta (1-s)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{1-s}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{1-s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{1-s}}}+\dots \right)=n^{s}\zeta (1+s)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{1+s}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{1+s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{1+s}}}+\dots \right).}$

d(n) = σ₀(n) est le nombre de diviseurs de n, y compris 1 et n lui-même.

${\displaystyle {\begin{aligned}-d(n)&={\frac {\log 1}{1}}c_{1}(n)+{\frac {\log 2}{2}}c_{2}(n)+{\frac {\log 3}{3}}c_{3}(n)+\dots \\-d(n)(2\gamma +\log n)&={\frac {\log ^{2}1}{1}}c_{1}(n)+{\frac {\log ^{2}2}{2}}c_{2}(n)+{\frac {\log ^{2}3}{3}}c_{3}(n)+\cdots \end{aligned}}}$

où γ = 0.5772... est la constante d'Euler-Mascheroni.

L'indicatrice d'Euler φ(n) est le nombre de nombres entiers positifs inférieurs à n et premiers entre eux à n. Ramanujan définit une généralisation si

${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}p_{3}^{a_{3}}\cdots }$

est la factorisation premier de n, et s est un nombre complexe. Supposez

${\displaystyle \phi _{s}(n)=n^{s}(1-p_{1}^{-s})(1-p_{2}^{-s})(1-p_{3}^{-s})\cdots ,}$

alors  φ₁(n) = φ(n) est l'indicatrice d'Euler[16].

Il prouve que

${\displaystyle {\frac {\mu (n)n^{s}}{\phi _{s}(n)\zeta (s)}}=\sum _{\nu =1}^{\infty }{\frac {\mu (n\nu )}{\nu ^{s}}}}$

et il s'en sert pour montrer que

${\displaystyle {\frac {\phi _{s}(n)\zeta (s+1)}{n^{s}}}={\frac {\mu (1)c_{1}(n)}{\phi _{s+1}(1)}}+{\frac {\mu (2)c_{2}(n)}{\phi _{s+1}(2)}}+{\frac {\mu (3)c_{3}(n)}{\phi _{s+1}(3)}}+\dots .}$

Supposez s = 1,

${\displaystyle \phi (n)={\frac {6}{\pi ^{2}}}n\left(c_{1}(n)-{\frac {c_{2}(n)}{2^{2}-1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{2}-1}}-{\frac {c_{5}(n)}{5^{2}-1}}+{\frac {c_{6}(n)}{(2^{2}-1)(3^{2}-1)}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{2}-1}}+{\frac {c_{10}(n)}{(2^{2}-1)(5^{2}-1)}}-\dots \right).}$

Remarquez que la constante est l'inverse[17] de un dans la formule pour σ(n).

La fonction de Von Mangoldt Λ(n) = 0 sauf si n = p^k est une puissance d'un nombre premier, auquel cas c'est le logarithme naturel log p.

${\displaystyle -\Lambda (m)=c_{m}(1)+{\frac {1}{2}}c_{m}(2)+{\frac {1}{3}}c_{m}(3)+\dots }$

Pour tout n > 0,

${\displaystyle 0=c_{1}(n)+{\frac {1}{2}}c_{2}(n)+{\frac {1}{3}}c_{3}(n)+\dots .}$

C'est l'équivalent du théorème des nombres premiers[18] - [6].

r_2s(n) est le nombre de manière de représenter n comme somme de 2s carrés, en comptant les différents ordres et signes (par ex., r₂(13) = 8, 13 = (±2)² + (±3)² = (±3)² + (±2)².)

Ramanujan définit une fonction δ_2s(n) et la référence dans une publication[15] , dans lequel il prouve que r_2s(n) = δ_2s(n) pour s = 1, 2, 3, et 4. Pour s > 4, il montre que δ_2s(n) est une bonne approximation de r_2s(n).

s = 1 a une formule spéciale:

${\displaystyle \delta _{2}(n)=\pi \left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3}}+{\frac {c_{5}(n)}{5}}-\dots \right).}$

Dans les formules suivantes, les signes se répète avec une période de 4.

Si s ≡ 0 (mod 4),

${\displaystyle \delta _{2s}(n)={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}+{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}+{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}+{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}+{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}+{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\dots \right)}$

Si s ≡ 2 (mod 4),

${\displaystyle \delta _{2s}(n)={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}-{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}-{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}-{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}+{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}-{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\dots \right)}$

Si s ≡ 1 (mod 4) et s > 1,

${\displaystyle \delta _{2s}(n)={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}+{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}+{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}+{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}+{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\dots \right)}$

Si s ≡ 3 (mod 4),

${\displaystyle \delta _{2s}(n)={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}-{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}-{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}-{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}-{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\dots \right)}$

et donc,

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{2}(n)&=\pi \left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3}}+{\frac {c_{5}(n)}{5}}-{\frac {c_{7}(n)}{7}}+{\frac {c_{11}(n)}{11}}-{\frac {c_{13}(n)}{13}}+{\frac {c_{15}(n)}{15}}-{\frac {c_{17}(n)}{17}}+\cdots \right)\\r_{4}(n)&=\pi ^{2}n\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{4}(n)}{4}}+{\frac {c_{3}(n)}{9}}-{\frac {c_{8}(n)}{16}}+{\frac {c_{5}(n)}{25}}-{\frac {c_{12}(n)}{36}}+{\frac {c_{7}(n)}{49}}-{\frac {c_{16}(n)}{64}}+\cdots \right)\\r_{6}(n)&={\frac {\pi ^{3}n^{2}}{2}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{4}(n)}{8}}-{\frac {c_{3}(n)}{27}}-{\frac {c_{8}(n)}{64}}+{\frac {c_{5}(n)}{125}}-{\frac {c_{12}(n)}{216}}-{\frac {c_{7}(n)}{343}}-{\frac {c_{16}(n)}{512}}+\cdots \right)\\r_{8}(n)&={\frac {\pi ^{4}n^{3}}{6}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}+{\frac {c_{4}(n)}{16}}+{\frac {c_{3}(n)}{81}}+{\frac {c_{8}(n)}{256}}+{\frac {c_{5}(n)}{625}}+{\frac {c_{12}(n)}{1296}}+{\frac {c_{7}(n)}{2401}}+{\frac {c_{16}(n)}{4096}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

r'_2s(n) est le nombre de façons de n peut être représenté comme la somme de 2s nombres triangulaires (c'est-à-dire le nombre 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 15, ...; le n-ième nombre triangulaire est donnée par la formule n(n + 1)/2.)

L'analyse ici est similaire à celle pour les carrés. Ramanujan se réfère à la même publication qu'il a écrit sur les carrées, où il a montré qu'il existe une fonction δ'_2s(n) tel que r'_2s(n) = δ'_2s(n) pour s = 1, 2, 3, et 4, et que pour s > 4, δ'_2s(n) est une bonne approximation de r'_2s(n).

Encore une fois, s = 1, il faut une formule spéciale:

${\displaystyle \delta '_{2}(n)={\frac {\pi }{4}}\left({\frac {c_{1}(4n+1)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+1)}{3}}+{\frac {c_{5}(4n+1)}{5}}-{\frac {c_{7}(4n+1)}{7}}+\dots \right).}$

Si s est un multiple de 4,

${\displaystyle \delta '_{2s}(n)={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(n+{\frac {s}{4}})}{1^{s}}}+{\frac {c_{3}(n+{\frac {s}{4}})}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(n+{\frac {s}{4}})}{5^{s}}}+\dots \right).}$

Si s est le double d'un nombre impair,

${\displaystyle \delta '_{2s}(n)={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(2n+{\frac {s}{2}})}{1^{s}}}+{\frac {c_{3}(2n+{\frac {s}{2}})}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(2n+{\frac {s}{2}})}{5^{s}}}+\dots \right).}$

Si s est un nombre impair et s > 1,

${\displaystyle \delta '_{2s}(n)={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(4n+s)}{1^{s}}}-{\frac {c_{3}(4n+s)}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(4n+s)}{5^{s}}}-\dots \right).}$

Par conséquent,

${\displaystyle {\begin{aligned}r'_{2}(n)&={\frac {\pi }{4}}\left({\frac {c_{1}(4n+1)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+1)}{3}}+{\frac {c_{5}(4n+1)}{5}}-{\frac {c_{7}(4n+1)}{7}}+\dots \right)\\r'_{4}(n)&=\left({\tfrac {\pi }{2}}\right)^{2}\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\left({\frac {c_{1}(2n+1)}{1}}+{\frac {c_{3}(2n+1)}{9}}+{\frac {c_{5}(2n+1)}{25}}+\dots \right)\\r'_{6}(n)&={\frac {({\tfrac {\pi }{2}})^{3}}{2}}\left(n+{\tfrac {3}{4}}\right)^{2}\left({\frac {c_{1}(4n+3)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+3)}{27}}+{\frac {c_{5}(4n+3)}{125}}-\dots \right)\\r'_{8}(n)&={\frac {({\frac {1}{2}}\pi )^{4}}{6}}(n+1)^{3}\left({\frac {c_{1}(n+1)}{1}}+{\frac {c_{3}(n+1)}{81}}+{\frac {c_{5}(n+1)}{625}}+\dots \right)\end{aligned}}}$

Supposez

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{q}(n)&=c_{q}(1)+c_{q}(2)+\dots +c_{q}(n)\\U_{q}(n)&=T_{q}(n)+{\tfrac {1}{2}}\phi (q)\end{aligned}}}$

Ensuite, pour s > 1,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{-s}(1)+\cdots +\sigma _{-s}(n)&=\zeta (s+1)\left(n+{\frac {T_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {T_{3}(n)}{3^{s+1}}}+{\frac {T_{4}(n)}{4^{s+1}}}+\dots \right)\\&=\zeta (s+1)\left(n+{\tfrac {1}{2}}+{\frac {U_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {U_{3}(n)}{3^{s+1}}}+{\frac {U_{4}(n)}{4^{s+1}}}+\cdots \right)-{\tfrac {1}{2}}\zeta (s)\\d(1)+\cdots +d(n)&=-{\frac {T_{2}(n)\log 2}{2}}-{\frac {T_{3}(n)\log 3}{3}}-{\frac {T_{4}(n)\log 4}{4}}-\cdots ,\\d(1)\log 1+\cdots +d(n)\log n&=-{\frac {T_{2}(n)(2\gamma \log 2-\log ^{2}2)}{2}}-{\frac {T_{3}(n)(2\gamma \log 3-\log ^{2}3)}{3}}-{\frac {T_{4}(n)(2\gamma \log 4-\log ^{2}4)}{4}}-\cdots ,\\r_{2}(1)+\cdots +r_{2}(n)&=\pi \left(n-{\frac {T_{3}(n)}{3}}+{\frac {T_{5}(n)}{5}}-{\frac {T_{7}(n)}{7}}+\cdots \right).\end{aligned}}}$

• (en) G. H. Hardy, Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by his Life and Work, AMS / Chelsea, 1999 (ISBN 978-0-8218-2023-0)
• (en) John Knopfmacher, Abstract Analytic Number Theory , Dover, 1990 (ISBN 0-486-66344-2)
• (en) Melvyn B. Nathanson, Additive Number Theory: the Classical Bases, vol. 164 de Graduate Texts in Mathematics, 1996 (ISBN 0-387-94656-X).
• (en) C. A. Nicol, Some formulas involving Ramanujan sums, Canad. J. Math., vol. 14, 1962, p. 284-286 DOI 10.4153/CJM-1962-019-8
• (en) Srinivasa Ramanujan, On Certain Trigonometric Sums and their Applications in the Theory of Numbers, volume 22, issue 15 du journal Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 1918, pages 259-276
• (en) Srinivasa Ramanujan, « On Certain Arithmetical Functions », Transactions of the Cambridge Philosophical Society, vol. 22, n^o 9, 1916, p. 159-184
• (en) Ramanujan Srinivasa, Collected Papers, 2000 (ISBN 978-0-8218-2076-6)
• (en) Wolfgang Schwarz, Jürgen Spilker, Arithmetical Functions. An introduction to elementary and analytic properties of arithmetic functions and to some of their almost-periodic properties, 1994, Cambridge University Press (ISBN 0-521-42725-8)

• Période de Gauss
• Somme de Gauss
• Somme de Kloosterman