Fonction nombre de diviseurs

Pour tout nombre naturel n on définit :

${\displaystyle {\text{d}}(n)=\operatorname {card} \left(\{d\in \mathbb {N} \mid 1\leqslant d\leqslant n\ {\text{et}}\ d\mid n\}\right)=\sum _{d|n}1}$.

Les premières valeurs sont les suivantes[1] :

• On a l'identité suivante : ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\text{d}}(k)=\sum _{d=1}^{n}\left\lfloor {\frac {n}{d}}\right\rfloor }$ où ${\displaystyle \left\lfloor \,.\right\rfloor }$ désigne la fonction partie entière [2] - [3] - [4] :

• Si la décomposition en produit de facteurs premiers de n est

  ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\dots p_{r}^{\alpha _{r}}}$,

  alors[5] :

  ${\displaystyle {\text{d}}(n)=(\alpha _{1}+1)(\alpha _{2}+1)\dots (\alpha _{r}+1)}$.

• La fonction nombre de diviseurs est donc multiplicative, c.-à-d. que si m et n sont premiers entre eux, alors :

  ${\displaystyle {\text{d}}(mn)={\text{d}}(m){\text{d}}(n)}$.

• Un nombre n est premier si et seulement si d(n)=2.
• Un nombre n est un carré parfait si et seulement si d(n) est impair.
• ${\displaystyle {\text{d}}(n)}$ est le double du nombre de diviseurs de n entre 1 et √n, auquel il faut retrancher 1 si n est un carré parfait, donc un majorant de d(n) est 2√n.
• La fonction génératrice de (d(n)) s'exprime comme série de Lambert :

  ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\text{d}}(n)x^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}}$ (pour ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$)

• La série de Dirichlet de (d(n)) est le carré de la fonction zêta de Riemann[6] :

  ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{d}}(n)}{n^{s}}}=\zeta ^{2}(s)}$ (pour ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$)

Notons ${\displaystyle n_{min}(m)}$ le plus petit n tel que ${\displaystyle {\text{d}}(n)=m}$ ; la suite ${\displaystyle (n_{min}(m))_{m}}$ est répertoriée comme suite A005179 de l'OEIS.

Le tableau suivant en donne les 36 premiers termes.

Plus petit entier ayant un nombre prescrit de diviseurs

${\displaystyle n_{min}(m)}$ : plus petit ${\displaystyle n}$ ayant ${\displaystyle m}$ diviseurs[14].

Nombre ${\displaystyle m}$ de diviseurs	${\displaystyle n_{min}(m)}$	Factorisation de ${\displaystyle n_{min}(m)}$
1	1	1
2	2	2
3	4	22
4	6	2·3
5	16	24
6	12	22·3
7	64	26
8	24	23·3
9	36	22·32
10	48	24·3
11	1 024	210
12	60	22·3·5
13	4 096	212
14	192	26·3
15	144	24·32
16	120	23·3·5
17	65 536	216
18	180	22·32·5
19	262 144	218
20	240	24·3·5
21	576	26·32
22	3 072	210·3
23	4 194 304	222
24	360	23·32·5
25	1 296	24·34
26	12 288	212·3
27	900	22·32·52
28	960	26·3·5
29	268 435 456	228
30	720	24·32·5
31	1 073 741 824	230
32	840	23·3·5·7
33	9 216	210·32
34	196 608	216·3
35	5 184	26·34
36	1 260	22·32·5·7

Nota 1 : Pour p,q premiers tels que ${\displaystyle p\leqslant q}$, ${\displaystyle n_{min}(p)=2^{p-1}}$ et ${\displaystyle n_{min}(pq)=2^{q-1}3^{p-1}}$.

Nota 2 : si ${\displaystyle n_{min}(m)}$ n'a pas de successeur plus petit que lui, alors il est hautement composé.

La fonction ${\displaystyle \sigma _{k}}$ associe à tout naturel non nul la somme des puissances ${\displaystyle k}$-ièmes de ses diviseurs :

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\sum _{d\mid n}d^{k}}$

La fonction nombre de diviseurs est donc le cas particulier de cette fonction obtenu pour ${\displaystyle k=0}$ :

${\displaystyle \sigma _{0}(n)=\sum _{d\mid n}d^{0}=\sum _{d\mid n}1={\text{d}}(n)}$.

• Nombre parfait
• Nombre hautement composé
• Suite aliquote, suite où chaque nombre est la somme des diviseurs propres de son prédécesseur.
• Constante d'Erdős-Borwein égale à ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{d}}(n)}{2^{n}}}}$.