Nombre hautement composé

Pour donner une idée de la forme d'un nombre hautement composé, on peut dire qu'il s'agit d'un nombre possédant des facteurs premiers aussi petits que possible, sans être trop de fois les mêmes. En effet, si l'on considère la décomposition d'un entier ${\displaystyle n>1}$ en facteurs premiers comme suit :

${\displaystyle n=p_{1}^{c_{1}}\times p_{2}^{c_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{c_{k}}}$

où ${\displaystyle p_{1}=2<p_{2}=3<...<p_{k}}$ sont les ${\displaystyle k}$ premiers nombres premiers, et où le dernier exposant ${\displaystyle c_{k}}$ est non nul, alors le nombre de diviseurs de ${\displaystyle n}$ est :

${\displaystyle (c_{1}+1)\times (c_{2}+1)\times \cdots \times (c_{k}+1).}$

Par conséquent, pour que ${\displaystyle n}$ soit hautement composé, il faut[2] que ${\displaystyle c_{1}\geqslant c_{2}\geqslant ...\geqslant c_{k}}$ (sinon, en échangeant les deux exposants fautifs on diminue ${\displaystyle n}$ tout en conservant le même nombre de diviseurs : par exemple 18 = 2¹ × 3² peut être remplacé par 12 = 2² × 3¹, chacun a 6 diviseurs). Cette condition nécessaire équivaut à : ${\displaystyle n}$ est décomposable en produit de primorielles. Tout nombre hautement composé est donc un nombre pratique.

Cette condition n'est malheureusement pas suffisante ; par exemple, ${\displaystyle 96=2^{5}.3}$ remplit la condition de décroissance mais n'est pas hautement composé : ${\displaystyle 60=2^{2}.3.5}$ possède également 12 diviseurs tout en étant strictement plus petit.

On peut aussi montrer[2] qu'on a toujours ${\displaystyle c_{k}=1}$, sauf dans deux cas particuliers ${\displaystyle n=4}$ et ${\displaystyle n=36}$.

Les nombres hautement composés strictement supérieurs à 6 sont aussi des nombres abondants. Un seul coup d'œil aux trois ou quatre plus hauts diviseurs d'un nombre hautement composé particulier est nécessaire pour confirmer ce fait.

Si ${\displaystyle Q(x)}$ représente la quantité de nombres hautement composés qui sont inférieurs ou égaux à ${\displaystyle x}$, Ramanujan a montré en particulier[2] que

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }Q(x)/\ln x=+\infty ,}$

ce qui prouve qu'il y a une infinité de nombres hautement composés.

Plus précisément, il existe une constante b telle que

${\displaystyle ({\ln x})^{35/32}\leq Q(x)\leq ({\ln x})^{b}.}$

La minoration de ${\displaystyle Q(x)}$ fut prouvée par Paul Erdős en 1944[4] et la majoration par Jean-Louis Nicolas (en) en 1971[5].

• (en) Eric W. Weisstein, « Highly Composite Number », sur MathWorld
• (en) Bill Lauritzen, « Versatile Numbers: Self-Organization, Emergence and Economics », août 2000
• (en) Algorithme et listes sur une ancienne page web (1998) de Kiran Kedlaya