Numération mésopotamienne

Les textes mésopotamiens dans lesquels on trouve trace de nombres s'étalent sur plus de 3000 ans. La Mésopotamie a connu durant cette période de nombreux systèmes de numération qui ont souvent cohabité. On peut y distinguer des systèmes de numération servant pour les calculs, généralement de type positionnel sexagésimal, et des systèmes métrologiques aux bases variées.

Le développement des systèmes de numération mésopotamiens a lieu avant tout dans sa partie Sud, le pays de Sumer, durant la seconde moitié du IV^e millénaire av. J.-C. (qui correspond à la période d'Uruk récent). Il est lié à l'apparition d'une société étatique, urbaine, dont la base économique est l'agriculture irriguée encadrée par des institutions (palais, temples) et des domaines sans doute privés développant des instruments de gestion de plus en plus élaborés. On reconnaît généralement dans les bulles d'argile apparues avant l'apparition de l'écriture des instruments de comptabilité. Elles ont évoluées en tablettes comptables, les calculi et le marquage étaient redondants. Durant les deux-trois derniers siècles du IV^e millénaire av. J.-C., l'écriture fait son apparition. Elle prend la forme de signes formés par des lignes incisées dans des tablettes d'argile, que Robert Englund a proposé de qualifier de « proto-cunéiformes », car ils posent les bases du système cunéiforme ultérieur mais n'en ont pas encore l'aspect en raison de l'absence de signes en forme de « clous ». Les nécessités comptables et gestionnaires des institutions de cette période sont sans doute à l'origine même du développement de cette écriture. Celle-ci comprend dès cette période plusieurs systèmes numériques et métrologiques permettant de répondre aux besoins des institutions : enregistrement et estimation des quantités de grains récoltées et prévision des besoins d'ensemencement pour l'avenir, calcul des quantités de grains nécessaires pour faire du pain et de la bière, etc.[1]

Le III^e millénaire av. J.-C. voit se mettre en place la graphie cunéiforme. Dans les textes sumériens de Shuruppak (v. 2500) apparaissent les premiers exercices scolaires mathématiques. La constitution d'entités politiques de plus en plus fortes, puis l'unification de la Mésopotamie sous les brefs empires d'Akkad (v. 2340-2190) et d'Ur III (v. 2112-2004) accompagnent la simplification des systèmes de numération et de métrologie, même s'ils ne sont jamais uniformisés. Devant cette situation, les scribes ont développé durant les derniers siècles du III^e millénaire av. J.-C. l'habitude d'effectuer les calculs dans un système numérique positionnel sexagésimal, et de les convertir ensuite dans les systèmes métrologiques de bases différentes[2].

Au début du II^e millénaire av. J.-C., la disparition des Sumériens s'accompagne du déclin des textes écrits dans leur langue, supplantés par ceux rédigés dans la langue sémitique des populations dominant la Mésopotamie, l'akkadien, dont la variante la plus courante dans le Sud est le babylonien, du nom du royaume qui domine les destinées de cette région d'environ 1750 jusqu'à 539 av. J.-C. Les Babyloniens héritent des systèmes numériques précédents. Comme souvent dans les périodes anciennes, ils connaissent des variations régionales et ne sont jamais unifiés pour toute la Mésopotamie ; les royaumes du Nord mésopotamien (Mari, Assyrie) développent notamment des systèmes originaux. Les textes documentant les mathématiques et la métrologie mésopotamiennes proviennent en majorité d'un contexte scolaire, servant à la formation des scribes. Ils ont une finalité avant tout pratique, servant pour la gestion des besoins des acteurs économiques (temples, palais, marchands, etc.) dans leurs différentes activités. On y trouve notamment des tablettes servant d'outils de travail arithmétiques, en particulier des tables de calculs ou de conversions métrologiques, ainsi que des tables d'inverses. Les exercices mathématiques (surtout géométriques) prennent généralement pour base des problèmes d'apparence pratique, en lien avec les travaux agricoles ou la construction, même si leurs énoncés ont souvent des postulats irréalistes qui indiquent qu'ils sont plutôt de nature spéculative[3].

Les systèmes de numération pour l'écriture des nombres sont très variables dans l'espace et dans le temps. Pour l'écriture des nombres de 1 à 59, on trouve en général deux symboles (un pour l'unité et un pour la dizaine) utilisés selon un principe additif. Ainsi un nombre comme 35 s'écrit à l'aide de trois symboles représentant la dizaine et 5 symboles représentant l'unité. On trouve parfois la présence d'un système soustractif pour l'écriture des nombres dont le chiffre des unités est 7, 8 ou 9[4]. Ainsi 18 s'écrit 20 LAL 2, mais une telle écriture n'est pas normalisée — Cajori[5] dénombre par exemple près de douze façons différentes d'écrire 19. Après le second millénaire cependant une telle écriture se fait rare[4] tandis qu'une écriture cursive apparait pour le symbole 9[6].

Au-delà de 59, les systèmes de numération se diversifient. Les systèmes numériques liés à la métrologie sont de principe additif et réclament l'invention de nouveaux symboles, différents selon les systèmes, pour exprimer certains nombres ronds (60, 100, 120, 600, 1200...). Certains de ces symboles sont construits selon un principe multiplicatif : on trouve, par exemple, dans un des plus vieux textes mathématiques (Uruk avant 3000 av. J.-C.) le symbole 10 accolé au symbole 60 pour représenter le nombre 600[7]. Le système numérique réservé au calcul, quant à lui, étant de principe positionnel, ne nécessite pas l'invention de nouveaux symboles.

Il existe également des notations spéciales pour les fractions 1/2, 1/3, 1/6, 2/3, 5/6[8] tandis que les autres inverses sont écrits en toutes lettres.

Durant les derniers siècles de la civilisation mésopotamienne, au I^er millénaire av. J.-C., les systèmes métrologiques ont parfois vu leurs unités de base changer. Les exercices scolaires évoluent également, avec le développement de listes à la place des tables. Les applications mathématiques les plus élaborées des derniers siècles du I^er millénaire av. J.-C. se trouvent dans le milieu clérical de la Babylonie de l'époque séleucide (v. 311-141 av. J.-C.), en particulier celui des devins utilisant les calculs dans des finalités astronomiques et astrologiques, notamment la rédaction d'éphémérides. C'est dans ce contexte que sont rédigées les dernières tablettes numériques mésopotamiennes[9].

À partir du début du II^e millénaire av. J.-C., les Mésopotamiens ont compté en base 60 en utilisant une numération de position dérivée du système de numération de type additif et de base mixte des Sumériens. Ce système est généralement associé à la civilisation babylonienne, qui occupe le sud mésopotamien après 1800 et jusqu'au début de notre ère. Cette base a traversé les siècles : on la retrouve aujourd'hui dans la notation des angles en degrés (360° = 6 x 60°) ou dans le découpage du temps (1 heure = 60 minutes = 60² secondes).

Le système sexagésimal de position décrit ci-dessous est attesté dès le XXI^e siècle av. J.-C. sur une table d'inverses[18] et il est très fréquent durant la période paléo-babylonienne (2000 à 1600 av. J.-C.). C'est une notation savante utilisée dans les écoles de scribes et dont l'usage semble réservé au calcul, principalement les multiplications et les divisions[19]. L'ordre de grandeur n'y est pas spécifié et ces nombres ne sont jamais suivis d'unités de mesure. Les nombres écrits sous cette forme sont pour cela appelés des nombres abstraits[20]. On retrouve cette notation savante à l'époque Séleucide dans tous les textes astronomiques.

Le principe consiste à disposer de 59 symboles ou « chiffres », permettant de représenter les nombres de 1 à 59, et de les utiliser de droite à gauche pour représenter successivement le nombre d'unités, le nombre de soixantaines, le nombre de trois-mille-six-centaines, etc.

Écriture des nombres

Pour écrire des nombres supérieurs à 59, il suffit de juxtaposer de gauche à droite plusieurs de ces «chiffres». Ainsi l'écriture du nombre 60² + 17 × 60 + 35 consiste à aligner les symboles représentant 1, 17, 35 :

Exemples de nombres écrits en numération babylonienne sexagésimale.

Valeur décimale	Écriture babylonienne cunéiforme	Décomposition en base 60
1		1 x 1
17		17 x 1
44		44 x 1
60		60 = 1 x 60 + 0 x 1
85		1 × 60 + 25 x 1
3600		3600 = 1 x 60² + 0 x 60 + 0 x 1
11327		3 × 60² + 8 × 60 + 47 x 1
7000,2525		1 x 60² + 56 x 60 + 40 x 1 + 15/60 + 9/60²

Difficultés de lecture et apparition du zéro de position

Tablette d'Uruk d'époque séleucide employant un signe pour le zéro de position. Musée du Louvre.

Dans le tableau ci-dessus, les nombres 1, 60 et 3 600 sont représentés de la même façon : bien que positionnel, le système babylonien ne note ni le zéro, ni la virgule comme dans la numération chinoise à bâtons. En un certain sens, la numération des Babyloniens ressemble à la notation scientifique avec mantisse et exposant, à ceci près que les Babyloniens ne notaient que la mantisse et conservaient l'exposant mentalement[21]. En langage contemporain, il s'agit de calcul en virgule flottante. Le lecteur des tablettes doit ainsi rétablir l'exposant des nombres qu'il déchiffre, ce qui rend l'interprétation parfois difficile.

D'autres difficultés de lecture apparaissent également : la notation additive avec chevrons et clous peut conduire à des confusions comme entre et [22] - [23] . Seul un espacement distingue la première écriture, censée représenter 60 + 1, de la seconde, censée représenter 2. Le même type de confusion peut aussi exister entre les écritures de et , censées représenter 60 + 1 et 60² + 1.

Pour noter cette absence d'unité, en position interne à un nombre, l'espace est remplacée par un symbole de séparation, un « zéro », composé selon les cas de deux chevrons superposés, ou de deux clous obliques, juxtaposés ou superposés[24]. Ce symbole est utilisé pour marquer les colonnes[25]. Ce zéro apparait dans quelques textes de la fin de la période paléo-babylonienne (fin du II^e millénaire av. J.-C.) pour indiquer une place vide dans le système sexagésimal mais aussi parfois pour indiquer une absence de dizaine ou d'unité dans une colonne intermédiaire[26]. Il est d'usage courant dans les textes astronomiques de l'époque Séleucide (300 av. J.-C.)[23]. Il apparait parfois en première position, souvent en position intermédiaire[27] mais très rarement en position finale[28] - [29].

Ces particularités, en plus de l'usure ou de fractures rendent l'interprétation difficile et sujette à plusieurs hypothèses comme dans le cas de la tablette Plimpton 322 datant de vers -1800 en rapport direct avec le théorème du théorème de Pythagore ( triplets pythagoriciens).

Un système mixte existe dans l'écriture des nombres chez les Assyriens durant toute l'époque paléo-assyrienne (v. 2000-1500 av. J.-C.). La notation classique est conservée pour la valeur du clou (1 unité) et du chevron (10 unités), mais l'écriture des dizaines se poursuit jusqu'à 90 qui s'écrit à l'aide de 9 chevrons. Il existe un nom spécifique pour la centaine (me ou me-at), le millier (lim)[30]. Dans ce système, le nombre 162 s'écrit 1 (1 clou) me-at 62 (6 chevrons et 2 clous). Mais on trouve parfois quelques résurgences du système sexagésimal comme dans l'écriture de 2670 sous la forme li-im me-at [30]. Progressivement, les mots me-at (centaine) et li-im sont abrégés sous les formes cunéiformes suivantes : (centaine) et (millier)[31].

On a également découvert à Mari (ville située sur l'Euphrate à la frontière de la Syrie actuelle, textes datés de v. 1800-1760), un texte datant de la période paléo-babylonienne et présentant trois écritures : une écriture sexagésimale de position, une écriture mixte (sexagésimale) jusqu'à la centaine puis décimale additive avec les mots me (centaine), li-mi (millier) et gal (dix-milliers), enfin une notation centésimale positionnelle (les clous et les chevrons permettant d'écrire tous les «chiffres» de 1 à 99)[32] - [33]. On trouve ainsi le nombre 649539 écrit sous trois formes :

• (3.60³ + 25.60 + 39) en notation sexagésimale savante ;
• su-si gal li-mi me en écriture mixte ;
• 64 (6 chevrons et 4 clous) 95 (9 chevrons et 5 clous) 39 (3 chevrons et 9 clous) en écriture centésimale.

• abaques : Pour les multiplications et les divisions, les sumériens semblent avoir adopté des abaques permettant dès les calculi de faire ces opérations de base[34].
• mystique : L'importance des nombres et celle des personnes les maîtrisant les font lier au sacré. Chaque dieu reçoit ainsi un nombre qui le désigne. Anu, dieu du ciel reçoit ainsi le nombre 60, bas du système et nombre de la perfection, les autres recevant des nombres inférieurs jusque Nergal (14)[35].
• jeux et graphies savantes : Utilisés pour les dieux, certains chiffres sont aussi utilisés pour crypter des textes d'initiés ou dans un texte pour citer le roi

(3.20) en notation sexagésimale savante par analogie entre les mots roi et 3600. on note aussi l'analogie entre la soixantaine et le nom de Suse. (3.30) correspond ainsi à Grand Sar, Sar-U ou grand 3600

• (en) Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, Open Court Publication, 1928 [détail des éditions]
• (en) Robert K. Englund, « Texts from the late Uruk period », dans Josef Bauer, Robert K. Englund, Manfred Krebernik, Mesopotamien, Späturuk-Zeit und Frühdynastische Zeit, Vandenhoeck & Ruprech, 1998 (ISBN 978-3525537978, lire en ligne), p. 16-233
• (en) Jens Høyrup, « A hypothetical history of Old Babylonian mathematics : places, passages, stages, development », International Conference on History and Development of Mathematics,‎ 2012 (lire en ligne)
• Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres, Paris, Seghers, 1981, 567 p. (ISBN 2-221-50205-1) - Réédition 1994, Éditions Laffont, (ISBN 2-221-07838-1)
• (en) Donald E. Knuth, « Ancient Babylonian Algorithms », Communications of the ACM, vol. 15, n^o 7,‎ juillet 1972, p. 671-677 (lire en ligne)
• Donald E. Knuth, « Algorithmes babyloniens anciens », dans Éléments pour une histoire de l'informatique, CLSI Publications (Stanford) et Société mathématique de France, 2011 (ISBN 978-1-57586-622-2)
• Cécile Michel, « Calculer chez les marchands assyriens du début du II^e millénaire av. J.-C. », sur CultureMATH, juin 2006
• (en) Otto E. Neugebauer, The Exact Sciences in Antiquity, New York, Dover Publications, 1969 (1^re éd. 1952), 240 p. (ISBN 0-486-22332-9, lire en ligne)
• (en) Otto E. Neugebauer, Astronomical Cuneiform Texts, vol. 1, Institute for Advanced Study, 1955 (1^re éd. 1945)
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• Ron Cowen, "Ancient Babylonians took first steps to calculus", Science, 29 janvier 2016, Vol. 351, Issue 6272, p. 435, DOI: 10.1126/science.351.6272.435 (sur les procédés arithmétiques et géométriques utiliser pour calculer la trajectoire de Jupiter, associé au dieu Marduk