YBC 7289

La tablette YBC 7289 avec des annotations traduisant les nombres écrits dans le système babylonien.

Cette tablette a la forme d'un disque d'environ 8 cm de diamètre et 8 mm d'épaisseur.

Une face représente un carré et ses diagonales. Elle comporte les inscriptions suivantes en numération babylonienne[1] :

Inscriptions babyloniennes	Valeurs décimales	Position
	30	côté du carré
	1 24 51 10	le long d'une diagonale
	42 25 35	sous cette diagonale

Au revers, on distingue les traces grandement effacées d'un problème qui semble concerner un rectangle de dimension 3 × 4 et diagonale 5[2].

Les suites de nombres basées sur un système sexagésimal peuvent se traduire en système décimal de la manière suivante[3] :

• ${\displaystyle \mathbf {1} +{\frac {\mathbf {24} }{60}}+{\frac {\mathbf {51} }{60^{2}}}+{\frac {\mathbf {10} }{60^{3}}}={\frac {30\,547}{21\,600}}(\simeq 1{,}414\,212\,96)}$ ;
• ${\displaystyle \mathbf {42} +{\frac {\mathbf {25} }{60}}+{\frac {\mathbf {35} }{60^{2}}}={\frac {30\,547}{720}}(\simeq 42{,}426\,388\,9)}$.

La tablette YBC 7289 a probablement été écrite par un scribe babylonien de la première dynastie, ce qui la situe entre 1900 et 1600 av. J.-C.[4]. La forme et les dimensions de la tablette laissent supposer qu'elle a été écrite, dans le sud de l'Irak actuel, par un apprenti scribe utilisant des valeurs connues issues d'une liste[5]. De telles tablettes, rondes et petites (entre 8 et 12 cm en général) tenaient aisément dans la main.

Elle a été achetée vers 1912 et publiée pour la première fois en 1945. Elle est actuellement conservée à l'université Yale.

Il s'agit de l'un des premiers objets mathématiques connu, et de l'une des plus anciennes traces d'une pensée scientifique[4].

Schéma de la tablette YBC 7289.

Les trois nombres inscrits sur la tablette sont liés par la relation : ${\displaystyle 30\times 1{,}414\,212\,96\approx 42{,}426\,388\,9}$. Ce qui peut se traduire par : la longueur de la diagonale d'un carré de côté 30 s'obtient en multipliant 30 par 1,414 212 96, énoncé général, même s'il est donné dans un cas particulier[6].

La précision de cette valeur de la racine carrée de 2 est exceptionnelle, puisque proche du millionième. Les évaluations antérieures donnaient la suite « 1 ; 25 », ce qui représente environ 1,4167 (précision au millième)[7]. Cette précision n'a peut-être été dépassée que 2 500 ans plus tard, par l'Indien Govindashwamin ; le plus étonnant est que la valeur calculée au millième est largement suffisante pour toutes les applications pratiques (comme par exemple l'architecture)[8].

La tablette YBC 7243, qui donne des listes de nombres, contient, dans sa dixième ligne[9] :

« 1 24 51 10, la diagonale du carré »

sous-entendu : il faut multiplier le côté du carré par 1 24 51 10 pour obtenir sa diagonale. La tablette YBC 7289 consistait peut-être à calculer la diagonale d'un carré de côté 30 à partir d'une liste semblable à celle de YBC 7243.

La tablette ne donne aucune indication à propos de la méthode utilisée pour obtenir cette approximation. Une hypothèse est que celle-ci a été obtenue par une méthode itérative mathématiquement équivalente à celle connue plus tard sous le nom de méthode de Héron. Fowler et Robson ont proposé une reconstitution[14] s'appuyant d'une part sur certaines procédures calculatoires décrites dans d'autres tablettes, d'autre part sur des justifications géométriques par « coupé-collé » d'aires dont, à la suite des travaux de Jens Hoyrup, beaucoup d'historiens pensent qu'elles sous-tendent les calculs des mathématiques de l'époque[15].

Traduite algébriquement la procédure décrite par Fowler et Robson s'appuie sur le fait que si a est une approximation de √N, alors a+1/2(N − a²)/a en est une meilleure[16]. Si on part de l'approximation 3/2 pour √2, on aboutit ainsi à l'assez bonne approximation 17/12, 1;25 en sexagésimal, qui est aussi présente dans les tablettes paléo-babyloniennes[17].

Il n'existe pas de témoignage d'une itération de ce processus[18]. Pour le calcul de la division les mathématiques mésopotamiennes procèdent par multiplication par l'inverse, à l'aide de tables de réciproques. Pour la seconde itération se pose le problème de la division par 17/12 qui n'est pas régulier : son inverse n'a pas d'écriture finie en base 60[19]. Une possibilité est d'utiliser une approximation de l'inverse à quatre places sexagésimales, et cela conduit, au prix d'une approximation supplémentaire, à la valeur de la tablette YBC 7289[20] - [21].

Par ailleurs la procédure, bien que mathématiquement équivalente à la méthode de Héron (a ↦ a+1/2(a +N/a)), est plus pénible sur le plan calculatoire[18].

• (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Pythagoras's theorem in Babylonian mathematics », sur MacTutor, université de St Andrews, 2000.

• (en) David Fowler et Eleanor Robson, « Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics : YBC 7289 in Context », Historia Mathematica, vol. 25,‎ 1998, p. 366-378 (DOI 10.1006/hmat.1998.2209)
  Étude complète de la tablette, mise en contexte historique et explications probables des méthodes utilisées à l'époque pour obtenir la valeur approchée de √2 utilisée dans YBC 7289.
• Benoît Rittaud, Le fabuleux destin de √2, Paris, Le Pommier, 2006, 451 p. (ISBN 2-7465-0275-5, lire en ligne)