Système duodécimal

"Douze" est un nombre qui a été utilisé dans divers aspects historiquement.

En latin par exemple, il existe un grand nombre de noms (sans parler des adjectifs encore plus nombreux) pour désigner des ensembles de douze (duodecim[1]) unités[2], ce qui montre la familiarité du décompte par douze. Cependant, le latin nomme le nombre "quatre fois trois" comme "dix plus deux" plutôt que "nombre indépendant", et le traite comme un "accessoire de dix".

• duodecajugum : attelage de douze coursiers ;
• duodecas : douzaine ;
• duodecennium : période de douze ans ;
• duodecemvir : collège de douze magistrats ;
• etc.

Des exemples de cet usage sont les douze mois de l'année, les douze heures d'une montre (découpage de la nuit et du jour en douze heures basé sur le décan en Égypte antique[3]), les douze divisions traditionnelles du temps dans une journée en Chine, les douze signes du zodiaque de l'astrologie, les douze signes du zodiaque de l'astrologie chinoise, etc. Il s'utilise encore dans le commerce (douzaine, grosse [4] pour douze douzaines ou 12²).

Certaines populations (Moyen-Orient, Roumanie, Égypte, etc.) connaissent ce système de longue date en comptant les phalanges de la main en omettant celles du pouce (qui est utilisé pour pointer les phalanges des autres doigts). Ce qui donne bien le chiffre douze, base de cette numération[5].

L'avantage d'une divisibilité en quotients entiers explique que les systèmes de mesure aient longtemps comporté des sous-multiples en douzièmes (douze pouces dans un pied, douze pence dans un shilling, douze deniers dans un sou, douze pièces dans une douzaine, douze douzaines dans une grosse, douze grosses dans une grande grosse, etc.).

Durant la révolution française, quand il a été question d'unifier les systèmes des poids et mesures, l'Assemblée Nationale a demandé à l'Académie des sciences de présenter un rapport sur cette réforme. Les académiciens Jean-Charles de Borda, Antoine Lavoisier, Mathieu Tillet et Nicolas de Condorcet, dans leur rapport de 1790, ont envisagé un temps de prendre le système duodécimal comme système arithmétique, avant d'y renoncer devant la difficulté de son acceptabilité[6] - [7].

À quelques rares exceptions près, dont celle notable des États-Unis d'Amérique, ces systèmes ont été abandonnés partout, au profit du système décimal. Le Royaume-Uni a, par exemple, adopté la décimalisation de sa monnaie, la livre sterling, en 1971.

On ne trouve pas trace de système d'énonciation des nombres qui soit complètement duodécimal. Cependant on trouve quelques indices de douze nombres de base et, dans quelques peuples, très localisés, une utilisation occasionnelle du système duodécimal.

Les langues germaniques ont douze nombres de base. Contrairement aux langues romanes ou slaves où les mots pour onze et douze signifient en fait respectivement « dix et un » et « dix et deux » (« undici », « dodici » en italien, suivis par « tredici » ; « odinnadsať », « dvenadsať » en russe, suivis par « trinadsať »), on dit « eleven », « twelve » en anglais, « elf », « twaalf » en néerlandais, selon un modèle différent de la série de nombres suivants (« thirteen, fourteen, fifteen… » en anglais, qui signifient tous « dix et trois, dix et quatre, dix et cinq… »).

H. F. Mathews, en 1917, communique sur des tribus du peuple Nungu, dans la province de Nassawara au nord du Niger et signale la construction de 13 , 14, 15 etc. et 24, 36, etc. à l'aide 12 (oso) et 1 (iri), 2 (aha ), 3 (acha) etc. selon le principe suivant[8]:

• 13 = oso shi iri, 14 = oso shi aha, etc.
• 24 = oso aha, 36 = oso acha, etc.

De même, Ross C. Caughley en 1972, étudiant le peuple sino-tibétain Chepang, signale l'utilisation occasionnelle de décompte en base duodécimale[9] que Martine Mazaudon, en 2008, analyse comme suit[10]

• 15 = yat hale sum.jyo^? (un douze + trois)
• 29 = nis hale ponja.jyo^? (deux douze + cinq)
• 60 = ponja hale (cinq douze).

Peu de temps après la généralisation du système décimal positionnel en Europe, les mathématiciens commencent à s'intéresser aux systèmes de numération non décimaux.

Dans ses Récréations mathématiques[11], Édouard Lucas mentionne Simon Stevin comme ayant imaginé dès le début du XVII^e siècle un système de numération duodécimal avant de devenir un farouche promoteur du système décimal dans son ouvrage La Dîme. Cependant, selon Anton Glaser[12], il n'y aurait pas de telle mention dans les œuvres mathématiques de Stevin[13].

Une des premières traces de la possibilité de traiter l'arithmétique dans d'autres bases que la base décimale[14] se trouve dans un article de 1654 de Blaise Pascal sur un critère de divisibilité, De numeris multiplicibus. Après avoir exposé son critère en base dix, il explique que celui-ci est plus général et peut s'appliquer à d'autre bases[15] comme la base douze, exemple à l'appui. À cette occasion, il expose le principe de la base duodécimale, indiquant la nécessité de deux symboles pour les chiffres dix et onze[16].

En 1670, dans son ouvrage Mathesis biceps, Juan Caramuel y Lobkowitz consacre tout un chapitre aux numérations non décimales, se concentrant principalement sur la base 2 mais évoquant également les bases trois, quatre, cinq, sept, huit, neuf, dix, onze, douze et soixante[17]. Mais c'est un certain Joshua Jordaine qui, en 1687, dans son Duodecimal arithmetick, va pousser le plus loin l'exploitation d'une écriture fractionnaire duodécimale et en faire la promotion la jugeant plus adaptée aux systèmes métrologiques en vigueur[18]. Il conserve la notation décimale pour la partie entière et utilise la notation duodécimale pour la partie fractionnaire[19] sans pour autant inventer de symboles particuliers pour dix et onze, se contentant d'isoler les chiffres par des séparateurs[20]. Il présente les opérations classiques (4 opérations, technique de conversion de base décimale en base duodécimale[21], extraction de la racine carrée et cubique, etc.) et expose son utilisation possible dans les systèmes métrologiques existants.

À partir du XVIII^e siècle, on trouve de nombreux exemples sur le système duodécimal dès que les ouvrages traitent d'écriture en base a quelconque (Étienne Bézout[22], Peter Barlow[23], Isaac Pitman[24], John W. Nystrom[25], Herbert Spencer[26], etc.). Certains de ces auteurs le trouvent logiquement plus adapté que le système décimal.

Il existe deux organismes : la Dozenal Society of America (DSA) et la Dozenal Society of Great Britain (DSGB) qui font la promotion du système dozénal en affirmant qu'un système en base douze est meilleur que le système décimal tant du point de vue mathématique que pour les questions pratiques. En effet 2, 3, 4, 6 sont des diviseurs de douze, ce qui facilite la mise en fraction. Comparé aux diviseurs 2 et 5 du système décimal, le système duodécimal offre plus de possibilités.

Un temps dozénal (ou duodécimal) et son horloge[27] ont également été proposés.

Exemples de notations[28]:

• 12₁₂ = 14₁₀ (en effet, 1᛫12¹ + 2᛫12⁰)
• 26₁₂ = 30₁₀ (en effet, 2᛫12¹ + 6᛫12⁰)
• 30₁₂ = 36₁₀ = 100₆ (en effet, 3᛫12¹ + 0᛫12⁰)
• 50₁₂ = 60₁₀ (en effet, 5᛫12¹ + 0᛫12⁰)
• 69₁₂ = 81₁₀ (en effet, 6᛫12¹ + 9᛫12⁰)
• 76₁₂ = 90₁₀ (en effet, 7᛫12¹ + 6᛫12⁰)
• 85₁₂ = 101₁₀ (en effet, 8᛫12¹ + 5᛫12⁰)
• 100₁₂ = 144₁₀ (en effet, 1᛫12² + 0᛫12¹ + 0᛫12⁰)
• 160₁₂ = 216₁₀ = 1000₆ (en effet, 1᛫12² + 6᛫12¹ + 0᛫12⁰)
• 1A6₁₂ = 270₁₀ (en effet, 1᛫12² + 10᛫12¹ + 6᛫12⁰)
• 265₁₂ = 365₁₀ (en effet, 2᛫12² + 6᛫12¹ + 5᛫12⁰)
• 294₁₂ = 400₁₀ = 100₂₀ (en effet, 2᛫12² + 9᛫12¹ + 4᛫12⁰)
• 400₁₂ = 576₁₀ (en effet, 4᛫12² + 0᛫12¹ + 0᛫12⁰)
• 576₁₂ = 810₁₀ (en effet, 5᛫12² + 7᛫12¹ + 6᛫12⁰)
• 6B4₁₂ = 1000₁₀ (en effet, 6᛫12² + 11᛫12¹ + 4᛫12⁰)
• 900₁₂ = 1296₁₀ = 10000₆ (en effet, 9᛫12² + 0᛫12¹ + 0᛫12⁰)
• 1000₁₂ = 1728₁₀ (en effet, 1᛫12³ + 0᛫12² + 0᛫12¹ + 0᛫12⁰)
• 11A8₁₂ = 2000₁₀ (en effet, 1᛫12³ + 1᛫12² + 10᛫12¹ + 8᛫12⁰)
• 2454₁₂ = 4096₁₀ = 1000₁₆ (en effet, 2᛫12³ + 4᛫12² + 5᛫12¹ + 4᛫12⁰)
• 3969₁₂ = 6561₁₀ = 10000₉ (en effet, 3᛫12³ + 9᛫12² + 6᛫12¹ + 9᛫12⁰)
• 4600₁₂ = 7776₁₀ = 100000₆ (en effet, 4᛫12³ + 6᛫12² + 0᛫12¹ + 0᛫12⁰)
• 4768₁₂ = 8000₁₀ = 1000₂₀ (en effet, 4᛫12³ + 7᛫12² + 6᛫12¹ + 8᛫12⁰)
• 5000₁₂ = 8640₁₀ (en effet, 5᛫12³ + 0᛫12² + 0᛫12¹ + 0᛫12⁰)
• 789A₁₂ = 13366₁₀ (en effet, 7᛫12³ + 8᛫12² + 9᛫12¹ + 10᛫12⁰)
• 10000₁₂ = 20736₁₀ (en effet, 1᛫12⁴ + 0᛫12³ + 0᛫12² + 0᛫12¹ + 0᛫12⁰)
• 23000₁₂ = 46656₁₀ = 1000000₆ (en effet, 2᛫12⁴ + 3᛫12³ + 0᛫12² + 0᛫12¹ + 0᛫12⁰)

• En sénaire : 10 = 2᛫3
• En décimal : 10 = 2᛫5
• En duodécimal : 10 = 4᛫3 = 2²᛫3
• En vicésimal : 10 = 4᛫5 = 2²᛫5

La différence entre le nombre duodécimal et le nombre "décimal ou sénaire" est que 10 comprend 2 à la 2^e puissance. Des phénomènes similaires se produisent également en vicésimal et octodécimal.

En décimal (= 2 ᛫ 5), les fractions dont les dénominateurs sont constitués de multiples de 2 ou 5 ont une représentation finie :

1/8 = 1/2³

1/20 = 1/(2²᛫5)

et

1/500 = 1/(2²᛫5³)

peuvent être exprimées exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule (0.125, 0.05 et 0.002 respectivement).

Cependant, 1/3 et 1/7 donnent les répétitions 0.33... et 0.142857142857...

En sénaire (= 2 ᛫ 3), les fractions dont les dénominateurs sont constitués de multiples de 2 ou 3 ont une représentation finie :

1/12 = 1/(2²᛫3)

1/20 = 1/(2²᛫5)

et

1/300 = 1/(2²᛫3᛫5²)

peuvent être exprimées exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule (0.043, 0.03 et 0.002 respectivement).

Cependant,

${\displaystyle {\frac {1}{5}}}$ et ${\displaystyle {\frac {1}{11}}}$

donnent les répétitions 0.11... et 0.0505...

En duodécimal (= 2 ᛫ 2 ᛫ 3), comme en sénaire, les fractions dont les dénominateurs sont constitués de multiples de 2 ou 3 ont une représentation finie :

1/8 s'exprime exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule : 0.16.

1/18 (décimal : 1/20) et 1/358 (décimal : 1/500) nécessitent une répétition périodique de chiffres après la virgule car leurs dénominateurs incluent 5 dans leur décomposition ;

1/3, 1/10 (sénaire : 1/20) et 1/90 (sénaire : 1/300) s'expriment exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule (0.4, 0.1 et 0.014 respectivement).

1/7 nécessite une répétition périodique de chiffres après la virgule, comme en décimal et en sénaire.

On peut argumenter que les facteurs de 3 sont plus facilement rencontrés dans la vraie vie que ceux de 5 lors des divisions. Mais en pratique, la gêne occasionnée par la périodicité des fractions est moins courante lorsque le système duodécimal est utilisé.

Cela est particulièrement vrai dans les calculs financiers, lorsque les douze mois de l'année entrent en ligne de compte dans les calculs. Bien que 1/3 et 1/9 soient divisibles, le système duodécimal est moins pratique que le sénaire lorsque nous divisons par de grandes puissances de trois. Par exemple, le chiffre approximatif annuel (2/3⁶, 2/3213 sénaire ou 2/509 duodécimal) est 0.000332 en sénaire (332/1,000,000 → 332 = 2¹¹, en sénaire), mais 0.0048A8 en duodécimal (101,532/144,000,000 → 101,532 = 2²¹ en sénaire = 2¹¹ en duodécimal).