Primorielle

Voici les premières valeurs des primorielles, en prenant par convention 0# = 1, sous forme de liste[1] et de représentation graphique. La liste ne donne ${\displaystyle n\#}$ que pour ${\displaystyle n}$ premier puisque, par définition, la suite est constante entre deux premiers consécutifs.

Progressions comparées de n! (en jaune) et n# (en rouge), à échelle logarithmique. On remarque la croissance linéaire de ln(n#).

Les indices ${\displaystyle k\leqslant 12}$ pour lesquels ${\displaystyle (p_{k}\#)-1}$ est premier sont 2, 3, 5, 6 et ceux pour lesquels ${\displaystyle (p_{k}\#)+1}$ est premier sont 1, 2, 3, 4, 5, 11 (pour plus d'informations, voir l'article « Nombre premier primoriel » et ses liens externes).

• Paul Erdős a montré élémentairement en 1932 que ${\displaystyle n\#\,\leqslant 4^{n}}$ (comme lemme dans sa preuve du postulat de Bertrand).

• Le logarithme de ${\displaystyle n\#}$ , soit ${\displaystyle \sum _{p\leq n}\ln p}$ , est égal à ${\displaystyle \theta (n)}$, où ${\displaystyle \theta }$ est la première fonction de Tchebychev. Le théorème des nombres premiers étant équivalent à la relation ${\displaystyle \theta (n)\sim n}$, on obtient : ${\displaystyle n\#=\mathrm {e} ^{n+o(n)}}$, ce qui implique ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n\#}}=\mathrm {e} }$. Pour ${\displaystyle n<10^{11}}$ les valeurs de ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{n\#}}}$ sont inférieures à ${\displaystyle \mathrm {e} }$[2], mais on remarque ensuite des oscillations autour de ${\displaystyle \mathrm {e} }$.

• la somme des inverses des primorielles est finie :

${\displaystyle \sum _{p{\text{ premier}}}{1 \over p\#}={1 \over 2}+{1 \over {2\times 3}}+{1 \over {2\times 3\times 5}}+\ldots =0{,}7052301717918\ldots }$ Voir la suite A064648 de l'OEIS.

Notons que ce nombre est par définition le nombre dont la suite des coefficients du développement de Engel est la suite des nombres premiers.

Pour tout entier ${\displaystyle k}$ de 2 jusqu'à ${\displaystyle n}$ inclus, on a ${\displaystyle {\text{PGCD}}(n\#,k)>1}$ ; on en déduit que les entiers ${\displaystyle n\#+2,n\#+3,...,n\#+n}$ forment ${\displaystyle n-1}$ entiers consécutifs composés, ce qui montre qu'il y a des plages de composés consécutifs aussi grandes qu'on veut.

Un entier ${\displaystyle n>0}$ est produit de primorielles si et seulement si sa décomposition en produit de facteurs premiers écrite avec des facteurs croissants voit les exposants de ces derniers décroitre :

${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}\times p_{2}^{\alpha _{2}}\times \cdots \times p_{k}^{\alpha _{k}}}$ avec ${\displaystyle \alpha _{1}\geqslant \alpha _{2}\geqslant ...\geqslant \alpha _{k}>0,}$

où ${\displaystyle p_{k}}$ est le k-ieme nombre premier.

Toutes les factorielles sont des produits de primorielles, comme le montre la formule de Legendre exprimant l'exposant du nombre premier ${\displaystyle p}$ dans la décomposition de ${\displaystyle n!}$ :

${\displaystyle \alpha _{p}(n!)=\left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +...}$

Par exemple ${\displaystyle 5040=7!=7\#\times 3\#\times (2\#)^{2}}$.

Tout nombre hautement composé est également un produit de primorielles.

Les primorielles jouent un rôle important dans la recherche de suites de ${\displaystyle k}$ nombres premiers en progression arithmétique (Ben Green et Terence Tao ont établi en 2004 l'existence de telles suites avec ${\displaystyle k}$ arbitrairement grand, mais de façon non constructive). Pour une telle suite, on a les deux propriétés suivantes :

• la raison est un multiple de ${\displaystyle k\#}$, sauf si la suite commence à ${\displaystyle k}$ (qui doit alors être premier)[3]. Par exemple, la suite de 26 nombres premiers trouvée en 2010 par Benoît Perichon et PrimeGrid[4] - [5] a une raison multiple de 26# = 23# ; elle est donnée par la formule :${\displaystyle 43142746595714191+23681770\times 23\#\times n}$ pour ${\displaystyle n=0,1,...,25}$
• il semble que pour tout ${\displaystyle k>7}$ , le plus petit multiple (soit ${\displaystyle k\#}$ lui-même) est atteint pour certaines suites. Cette conjecture est vérifiée au moins jusqu'à ${\displaystyle k=21}$ ; par exemple, David W. Wilson a découvert en 1999[6] une suite arithmétique de 13 nombres premiers de raison 13# :${\displaystyle 14933623+13\#\times n}$ pour ${\displaystyle n=0,1,...,12}$.

Les primorielles constituent les bases variables de la numération primorielle.

• Inégalité de Bonse
• Nombre pratique, propriété possédée par les primorielles[7].