Série de Lambert

La série de Lambert de certaines fonctions multiplicatives se calcule facilement ; par exemple :

• la série de Lambert de la fonction de Möbius μ est la série génératrice ordinaire de μ ✻ 1 = δ₁ :${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q}$ ;
• celle de 1 est la série ordinaire de la fonction 1 ✻ 1 = σ₀ = d (nombre de diviseurs) :${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{0}(n)}$ ;
• plus généralement, celle de la fonction puissance Id_a(n) = n^a (où a est un nombre complexe) est la série ordinaire de la fonction Id_a ✻ 1 = σ_a (somme des puissances a-ièmes des diviseurs) :${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)}$ ;
• de même, celle de la fonction totient de Jordan est la série ordinaire de la fonction puissance : ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{k}(n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{m=1}^{\infty }m^{k}q^{m}}$. En particulier,

  la série de Lambert de l'indicatrice d'Euler φ = J₁ est : ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{m=1}^{\infty }mq^{m}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}}$

Les séries de Lambert dans lesquelles les a_n sont des fonctions trigonométriques, par exemple, a_n = sin(2nx), peuvent être évaluées en utilisant diverses combinaisons des dérivées logarithmiques des fonctions thêta de Jacobi.