Fonction puissance

Fonctions puissances pour un exposant 0 (noir), 1 (bleu), 2 (rouge), 3 (vert), 4 (orange), 5 (violet).

Ce sont les fonctions définies sur ℝ par

${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}=\underbrace {x\times \cdots \times x} _{n}.}$

Pour n pair, la fonction associée est paire, c'est-à-dire que, pour tout réel x, f(–x) = f(x), et la courbe représentative possède l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.

Pour n impair, la fonction est impaire, c'est-à-dire que, pour tout réel x, f(–x) = –f(x), et la courbe représentative possède le point O comme centre de symétrie.

Les premières valeurs de n correspondent à des fonctions de référence :

• pour n = 1, il s'agit de la fonction identité f(x) = x ;
• pour n = 2, il s'agit de la fonction carré ;
• pour n = 3, il s'agit de la fonction cube ;
• le cas n = 0 est à étudier de près : par convention, on dira que la fonction x ↦ x⁰ est la fonction constante 1.

Toutes ces fonctions prennent la valeur 1 en 1. Plus l'exposant augmente, plus la courbe s'écrase sur l'axe des abscisses entre –1 et 1, et plus sa pente est raide en dehors de cet intervalle. En particulier, si m < n, alors pour tout x de l'intervalle ]0, 1[, xⁿ < x^m et pour tout x strictement supérieur à 1, xⁿ > x^m.

La fonction constante 1 étant mise à part, les fonctions puissances sont toutes strictement croissantes sur l'ensemble des réels positifs. Leur limite en plus l'infini est toujours plus l'infini et leur valeur en 0 est toujours 0. Pour un exposant strictement supérieur à 1, la courbe possède, en plus l'infini et en moins l'infini, une branche parabolique d'axe (Oy). Sur l'ensemble des réels négatifs, il faut distinguer le cas des exposants pairs non nuls pour lesquels la fonction est décroissante, et le cas des exposants impairs, pour lesquels la fonction est strictement croissante. Si l'exposant est impair et différent de 1, la courbe possède un point d'inflexion à l'origine.

Une fonction puissance est toujours dérivable sur ℝ. Si l'exposant est nul, la dérivée de f est nulle ; sinon, sa fonction dérivée est : ${\displaystyle f'_{n}(x)=nx^{n-1}}$. Ceci peut se démontrer par exemple en revenant à la définition du nombre dérivé et en utilisant le binôme de Newton.

Enfin, une telle fonction possède toujours des primitives définies par

${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+{\rm {{Cste}.}}}$

Les fonctions puissances à exposant entier servent à construire les fonctions polynomiales. On les retrouve aussi dans le développement en série entière des autres fonctions.

Fonctions puissances pour un exposant –1 (bleu), –2 (rouge), –3 (vert).

Ce sont les fonctions définies sur ℝ* par ${\displaystyle f_{-n}(x)=x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}={\frac {1}{f_{n}(x)}}.}$ De même que f_n, la fonction f_–n est paire pour n pair et impaire pour n impair.

La première valeur de n correspond à une fonction de référence :

• pour n = 1, il s'agit de la fonction inverse. C'est la seule des fonctions puissances dont la représentation graphique donne une hyperbole.

Toutes ces fonctions prennent la valeur 1 en 1. Plus l'exposant augmente, plus la courbe s'écrase sur l'axe des abscisses avant –1 et après 1, et plus sa pente est raide dans les intervalles ]–1 ; 0[ et ]0 ; 1[. En particulier, si m < n alors, pour tout x de l'intervalle ]0 ; 1[, x^–n > x^–m et pour tout x supérieur à 1, x^–n < x^–m.

Ces fonctions puissances sont toutes strictement décroissantes sur l'ensemble des réels positifs. Leur limite en plus l'infini est toujours 0 et leur limite en 0 par valeurs positives est toujours plus l'infini. La courbe possède donc deux asymptotes, d'équations x = 0 et y = 0. Sur l'ensemble des réels négatifs, il faut distinguer le cas des exposants pairs non nuls pour lesquels la fonction est croissante, et le cas des exposants impairs, pour lesquels la fonction est strictement décroissante.

Une telle fonction puissance est toujours dérivable sur ℝ* : ${\displaystyle f'_{-n}(x)=-nx^{-n-1}=-{\frac {n}{x^{n+1}}}.}$

En effet, ${\displaystyle f_{-n}'(x)=\left({\frac {1}{f_{n}}}\right)'(x)=-{\frac {f_{n}'(x)}{f_{n}^{2}(x)}}=-{\frac {nx^{n-1}}{(x^{n})^{2}}}=-{\frac {nx^{n-1}}{x^{2n}}}=-nx^{n-1-2n}=-nx^{-n-1}.}$

Une telle fonction possède toujours des primitives définies sur ]–∞ , 0[ ou sur ]0 , ∞[ par ${\displaystyle F_{-n}(x)={\frac {x^{-n+1}}{-n+1}}+C=-{\frac {1}{(n-1)x^{n-1}}}+C,\quad C\in \mathbb {R} }$ pour n différent de 1 ou par ${\displaystyle F_{-1}(x)=\ln(|x|)+C,\quad C\in \mathbb {R} .}$

Fonctions puissances pour un exposant 1/2 (bleu), 1/3(rouge).

Pour tout entier naturel non nul n, la fonction f_n est une bijection

• de [0, +∞[ sur [0, +∞[ si n est pair
• de ℝ sur ℝ si n est impair

La réciproque s'appelle la racine n-ième, et peut aussi s'écrire sous forme de puissance : ${\displaystyle f_{n}^{-1}(x)={\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.}$

Sa limite en +∞ est toujours +∞ mais la courbe est tournée vers l'axe des abscisses. On parle alors de branche parabolique d'axe Ox. Dans un repère orthonormal, la courbe représentative de f_1/n est symétrique de celle de f_n (restreinte éventuellement à [0, +∞[) par rapport à la droite d'équation y = x.

Cette fonction est dérivable sur son ensemble de définition sauf en 0 où la courbe possède pour tangente l'axe des ordonnées. La dérivée de f_1/n se calcule à l'aide de la dérivée de la fonction réciproque et s'exprime par : ${\displaystyle f_{1/n}'(x)={\frac {1}{n}}{\frac {1}{x}}x^{1/n}.}$

Elle possède sur son ensemble de définition des primitives définies par

${\displaystyle F_{1/n}(x)={\frac {n}{n+1}}x\cdot x^{1/n}+{\rm {Cste}}.}$

Grâce aux fonctions exponentielle et logarithme, on peut généraliser les fonctions puissances à tout exposant a réel. Pour tout réel x strictement positif, la fonction f_a est alors définie par:

${\displaystyle f_{a}(x)=x^{a}={\rm {e}}^{a\ln(x)}}$

Selon les valeurs de a, elle est parfois prolongeable par continuité en 0 (voire à ℝ* ou ℝ (cf supra)). Selon les valeurs de a, le prolongement peut ou non être dérivable en 0. le sens de variation dépend du signe de a.

La convexité d'une fonction est liée au signe de sa dérivée seconde. Ici la convexité d'une fonction puissance est liée au signe de a(a–1).

La fonction puissance est toujours dérivable sur ]0 ; +∞[ et sa dérivée s'exprime toujours sous la forme

${\displaystyle f_{a}'(x)=ax^{a-1}}$

Pour un exposant a différent de -1, elle possède toujours des primitives sur ce même intervalle définies par

${\displaystyle F_{a}(x)={\frac {x^{a+1}}{a+1}}}$

Pour l'exposant –1, on retrouve comme primitive la fonction logarithme népérien appelé aussi parfois logarithme hyperbolique en référence à l'aire sous l'hyperbole représentant la fonction inverse.

Les fonctions logarithmes et exponentielle de base b > 1 et les fonctions puissances d'exposant a > 0 ont toutes une limite infinie en +∞. Il est donc intéressant de définir leur force respective et de comparer leur croissance.

On démontre qu'en +∞, l'exponentielle est toujours plus forte que la puissance et cette dernière est toujours plus forte que le logarithme.

Cela signifie que pour tout b > 1 et tout a > 0,

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {b^{x}}{x^{a}}}=+\infty \quad {\rm {et}}\quad \lim _{x\to +\infty }{\frac {\log _{b}(x)}{x^{a}}}=0.}$

Pour a strictement positif, on a ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{f_{a}(x)}=0}$. On peut dès lors chercher à comparer la force de cette convergence avec la force de convergence d'autres fonctions.

Ainsi on dira que f est un infiniment petit d'ordre supérieur ou égal à n au voisinage de 0 si ${\displaystyle {\frac {f(x)}{x^{n}}}}$ est borné sur un intervalle ouvert contenant 0[1] - [2].

On dit que f est a-höldérienne sur un intervalle I s'il existe un réel M tel que, pour tous réels x et y de I,

${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq M|x-y|^{a}.}$

En général, on prend a compris entre 0 et 1 car si a est strictement supérieur à 1, cette condition conduit à dire que f est constante sur I.

La fonction puissance d'exposant a, pour 0 < a ≤ 1, est l'exemple le plus simple de fonction a-höldérienne. En effet, pour tous réels x ≥ y ≥ 0,

${\displaystyle 0\leq x^{a}-y^{a}\leq (x-y)^{a}}$[3].

Par conséquent, une fonction f : ]0, +∞[ → ℝ* continue en au moins un point est proportionnelle à une fonction puissance si et seulement si elle vérifie la propriété suivante : des rapports de x égaux induisent des rapports de f(x) égaux, c'est-à-dire :

${\displaystyle {\text{si }}{\frac {x}{y}}={\frac {u}{v}}{\text{ alors }}{\frac {f(x)}{f(y)}}={\frac {f(u)}{f(v)}}.}$

La fonction f_a est développable en série entière au voisinage de x₀ selon la formule

${\displaystyle (x_{0}+x)^{a}=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{{a \choose n}\,x_{0}^{a-n}x^{n}}.}$

où

${\displaystyle {a \choose n}={\frac {a(a-1)(a-2)\cdots (a-n+1)}{n!}}\ {\textrm {et}}\ {a \choose 0}=1}$

sont des coefficients binomiaux généralisés.

On remarque que pour a entier naturel, la somme comporte un nombre fini de termes : il s'agit de la formule du binôme. Le rayon de convergence de cette série est alors infini.

Si a n'est pas entier naturel, la somme comporte une infinité de termes et le rayon de convergence est de ${\displaystyle x_{0}}$. Voir aussi Fonction hypergéométrique#Cas particuliers.