Fonction de Möbius

Dans toute la suite de l'article, N désigne l'ensemble des entiers naturels et N* celui des entiers strictement positifs. La définition la plus courante est la suivante :

Le tableau de ses vingt premières valeurs est donc :

et le graphe de ses cinquante premières valeurs est :

Caractérisation de la fonction de Möbius[2] — La fonction de Möbius est l'inverse de la fonction constante 1 pour la convolution de Dirichlet, c'est-à-dire l'unique fonction arithmétique μ telle que pour tout entier n > 0, la somme des valeurs de μ sur tous les diviseurs positifs de n vaut :

${\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{ si }}n=1\\0&{\mbox{ si }}n>1.\end{matrix}}\right.}$

Avec cette seconde définition, μ est automatiquement, comme 1, multiplicative, c'est-à-dire que :

${\displaystyle \mu (1)=1}$ et pour tous ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} ^{*}}$ premiers entre eux, ${\displaystyle \mu (nm)=\mu (n)\mu (m)}$.

Une preuve de l'équivalence des deux définitions[3]

Montrons que la fonction μ de la première définition vérifie bien

${\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{ si }}n=1\\0&{\mbox{ si }}n>1.\end{matrix}}\right.}$

Si n = 1, le résultat est évident. Si n > 1, soient P l'ensemble des facteurs premiers de n et s = card(P) (≥ 1). Les seuls diviseurs de n dont l'image par μ est non nulle sont ceux sans facteur carré, c'est-à-dire les produits d'éléments distincts de P donc, en utilisant que le nombre de parties de P de cardinal t est égal au coefficient binomial ${\displaystyle s \choose t}$ puis en appliquant la formule du binôme :${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{d\mid n}\mu (d)&=\sum _{D\subset P}\mu \left(\prod _{p\in D}p\right)=\sum _{D\subset P}(-1)^{{\rm {card}}(D)}\\&=\sum _{t=0}^{s}(-1)^{t}{\rm {card}}(\{D\subset P\mid {\rm {card}}(D)=t\})\\&=\sum _{t=0}^{s}{s \choose t}(-1)^{t}=(-1+1)^{s}=0,\end{aligned}}}$ce qui termine la démonstration.
Au lieu d'appliquer la formule du binôme, on pouvait d'ailleurs la redémontrer directement dans ce cas particulier, c'est-à-dire montrer qu'il existe dans P autant de parties de cardinal pair que de cardinal impair. Pour cela, il suffit de fixer un élément p de P et de regrouper les parties de P deux par deux, par couples de la forme (S, S∪{p}) où S est une partie de P ne contenant pas p. Chaque partie de P figure dans un couple et un seul et chaque couple comporte une partie de cardinal pair et une de cardinal impair, ce qui montre bien que P a autant de parties paires qu'impaires.

La seconde définition permet de démontrer rapidement que pour toute fonction arithmétique f :

La fonction arithmétique g définie par

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad g(n)=\sum _{d\mid n}f(d)}$

vérifie

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad f(n)=\sum _{d\mid n}\mu \left({\tfrac {n}{d}}\right)g(d)}$.

Une approche combinatoire permet de généraliser l'étude ci-dessus[4]. La technique consiste à étudier un ensemble A fini et ensemble partiellement ordonné dont la relation d'ordre est notée ≤. On utilise la définition suivante :

Définition d'une chaîne[5] — Soient a et b deux éléments de A tels que a ≤ b. Pour tout entier naturel p, on appelle chaîne de longueur p joignant a à b, toute suite finie (x₀, x₁, ..., x_p) telle que :

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots x_{p-1}<x_{p}=b}$.

Dans la suite du paragraphe, on note c_p(a, b) le nombre de chaînes de longueur p reliant a à b. On dispose immédiatement de quelques propriétés. Par exemple, si a est un élément de A, c_p(a, a) vaut 1 pour p = 0 et vaut 0 pour p > 0, et si b est un élément de A strictement plus grand que a alors c₀(a, b) = 0 et c₁(a, b) = 1. Plus généralement, on établit le lemme suivant :

Lemme[5] — Si a et b sont deux éléments de A tels que a < b alors, pour tout entier naturel p,

${\displaystyle c_{p+1}(a,b)=\sum _{a\leq c<b}c_{p}(a,c)=\sum _{a<c\leq b}c_{p}(c,b)}$.

En effet, toute chaine de longueur p + 1 joignant a à b est composée d'une chaîne de longueur p reliant a à c et d'une chaîne de longueur 1 reliant c à b, ce qui démontre la première égalité. La deuxième se montre de la même manière.

Gian-Carlo Rota définit une nouvelle fonction de Möbius, qu'il note μ_A, et dont on verra qu'elle généralise μ :

Définition de G.-C. Rota de la fonction de Möbius μ_A — La fonction de Möbius μ_A, à valeurs entières, est définie sur A×A par :

${\displaystyle \forall a,b\in A\quad a\leq b\Rightarrow \mu _{A}(a,b)=\sum _{p\in \mathbb {N} }(-1)^{p}c_{p}(a,b)\quad {\text{et}}\quad a\not \leq b\Rightarrow \mu _{A}(a,b)=0}$.

Autrement dit, on compte positivement toutes les chaînes de longueurs paires reliant a à b et négativement celles de longueurs impaires. On remarque de plus que ces définitions restent valables si A est infini, à condition qu'il n'existe qu'un nombre fini d'éléments situés entre a et b (on dit alors que l'ordre est localement fini (en)). Le lemme permet de démontrer l'analogue suivant de la caractérisation de μ :

Caractérisation de μ_A[6] — Soient a et b deux éléments de A tels que a < b :

${\displaystyle \mu _{A}(a,a)=1\quad {\text{et}}\quad \sum _{a\leq c\leq b}\mu _{A}(a,c)=\sum _{a\leq c\leq b}\mu _{A}(c,b)=0}$.

Démonstration

La première égalité provient d'une fait que l'unique chaîne reliant a à a est de longueur 0. La deuxième est une conséquence directe de la proposition précédente :

${\displaystyle \sum _{a\leq c\leq b}\mu _{A}(a,c)=\sum _{a\leq c\leq b}\sum _{p\in \mathbb {N} }(-1)^{p}c_{p}(a,c)=\sum _{p\in \mathbb {N} }(-1)^{p}\sum _{a\leq c\leq b}c_{p}(a,c)}$.

La proposition précédente montre que :

${\displaystyle \sum _{a\leq c\leq b}\mu _{A}(a,c)=\sum _{p\in \mathbb {N} }(-1)^{p}{\big (}c_{p+1}(a,b)+c_{p}(a,b){\big )}=c_{0}(a,b)=0}$.

La dernière égalité se montre de la même manière.

Le produit de convolution de Dirichlet se généralise, permettant d'associer à tout ordre localement fini A son algèbre d'incidence (en), et le résultat ci-dessus se reformule alors par l'interprétation de μ_A comme un inverse dans cet anneau unitaire.

Ce résultat permet aussi de montrer une formule d'inversion pour μ_A.

Ici, l'ensemble A désigne celui des entiers strictement positifs munis de la relation d'ordre : a ≤ b lorsque a est un diviseur de b.

Cet ordre est localement fini, et lorsqu'on lui applique la caractérisation de μ_A avec 1 comme première variable, on retrouve la caractérisation μ.

On remarque aussi que si a divise b, l'application qui à une chaîne (x₁, x₁,..., x_p) associe la chaîne (1, x₂/x₁,..., x_p/x₁) constitue une bijection entre l'ensemble des chaînes de longueur p reliant a à b et celles reliant 1 à b/a.

On en déduit donc :

Relation entre les définitions des fonctions de Möbius[7] — En deux entiers strictement positifs a et b tels que a divise b, la fonction μ de Möbius et celle μ_A de Rota sont reliées par :

${\displaystyle \mu _{A}(a,b)=\mu _{A}\left(1,{\frac {b}{a}}\right)=\mu \left({\frac {b}{a}}\right)}$.

Via ce lien, la formule d'inversion classique pour μ peut être vue comme un cas particulier de celle pour μ_A.