Suite aliquote

L'étude des suites aliquotes met en évidence les cas particuliers suivants

• si ${\displaystyle u_{0}}$ est un nombre premier alors ${\displaystyle u_{1}=1}$ et la suite s'arrête.
• si ${\displaystyle u_{0}}$ est un nombre parfait alors la suite est constante
• si ${\displaystyle u_{0}}$ est un nombre amical, alors ${\displaystyle u_{1}}$ est son nombre amical associé et la suite boucle sur ces deux valeurs
• si ${\displaystyle u_{0}}$ est un nombre sociable alors la suite boucle sur tous les nombres sociables associés à ${\displaystyle u_{0}}$

La suite est définie par la relation de récurrence suivante : pour tout entier n, si ${\displaystyle u_{n}}$ est différent de 1

${\displaystyle u_{n+1}=f(u_{n})}$

où f est définie de la manière suivante : si N est un entier différent de 1 dont la décomposition en facteurs premiers est

${\displaystyle N=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}}$

${\displaystyle f(N)=\prod _{i=1}^{k}{\frac {p_{i}^{\alpha _{i}+1}-1}{p_{i}-1}}-N}$

On remarque que f est définie par

${\displaystyle f(N)=\sigma (N)-N}$

où σ est la somme des diviseurs de N

Toutes les suites aliquotes dont le premier terme est un nombre inférieur ou égal à 275 ont été étudiées et s'arrêtent à 1, sauf les suites constantes commençant par les nombres parfaits 6 et 28, et la suite de période 2 commençant par 220. La suite la plus longue est alors obtenue pour un premier terme égal à 138.

Une conjecture importante, due à Catalan, stipule qu'une suite aliquote, ou bien se termine à 1, ou bien finit par être constante sur un nombre parfait, ou périodique sur une famille de nombres sociables.

Cette conjecture ne fait pas l'unanimité. En effet, parmi les suites dont le premier terme est un nombre inférieur ou égal à 1000, 5 suites n'ont toujours pas pu être explorées jusqu'à leur terme. Ce sont les suites commençant par 276, 552, 564, 660 et 966. Ces nombres sont appelés les « cinq de Lehmer »[2]. Il existe de même 12 nombres (les douze de Godwin) compris entre 1000 et 2000 pour lesquels les suites aliquotes associées ne sont pas connues.

Il existe des suites aliquotes atteignant des termes astronomiques comme la suite démarrant à 3630 atteignant un nombre à 100 chiffres pour se terminer plus tard à 1[3]. Hendrik Lenstra a démontré que l'on pouvait toujours trouver une suite aliquote croissante sur n termes consécutifs, quelle que soit la valeur de n[2].

Un groupe actif de chercheurs et d'amateurs travaille à l'extension des suites dont le premier terme est inférieur à 1 000 000[4]. À la date du 20 octobre 2013, le nombre de suites dont le statut est indéterminé se répartit ainsi[5] :

Pour toutes ces suites, le dernier terme est un nombre entier possédant au moins 115 chiffres atteint après au moins 402 itérations[6].

• Fonction nombre de diviseurs

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