Derrick Lehmer

Il a amélioré le test de primalité de Lucas d'Édouard Lucas et d'autres méthodes pour prouver la primalité des nombres naturels : c'est le « test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne » pour les nombres premiers de Mersenne porte leur nom[1] - [2].

Il a également été l'un des premiers à tester électroniquement l'hypothèse de Riemann. Ce faisant, il découvre des zéros étroitement voisins de la fonction zêta de Riemann, qui sont maintenant appelés paires de Lehmer[3] .

À la suite de son père[4], Lehmer construit divers dispositifs[5] pour les méthodes de crible afin de calculer une solution de certaines congruences en théorie des nombres, principalement pour l'analyse des facteurs premiers ; les premières constructions sont faites en 1926 avec des chaînes de vélo, en 1932 avec des engrenages optiques (dispositif exposé à la Exposition universelle de 1933 à Chicago en 1933-34), en 1936 avec des bandes de pellicule de 16 mm, en 1966 un dispositif plus élaboré appelé « Delay Line Sieve » (aussi « Dick Lehmer's Sieve ») DLS-127, 1969 DLS-157, 1975 Shift Register Sieve SRS-181, et il programme les méthodes du crible sur les ordinateurs SWAC, IBM 7094 et ILLIAC IV.

En 1938, il développe une version accélérée de l'algorithme d'Euclide pour les très grands entiers[6]. En 1959, il améliore la formule de l'astronome Ernst Meissel pour le nombre de nombres premiers ${\displaystyle \pi (x)}$ inférieurs à ${\displaystyle x}$ et calcule avec sa méthode le nombre ${\displaystyle \pi (10^{10})}$. Il s'avère que sa valeur est trop grande d'une unité[7].

La constante de Lehmer ${\displaystyle 0{,}5926327182...}$ est le nombre réel dont le développement cotangent (introduit pour la première fois par Lehmer) converge le plus lentement.

Lehmer a étudié la fonction tau de Ramanujan qui est la fonction ${\displaystyle \tau }$ de Srinivasa Ramanujan définie par

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)x^{n}=x((1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})...)^{24}}$

et formule en 1947 la conjecture de Lehmer selon laquelle ${\displaystyle \tau (n)}$ ne s'annule pour aucun entier naturel ${\displaystyle n}$[8].

L'algorithme de Lehmer-Schur est une méthode pour isoler les zéros d'un polynôme dans le plan complexe[9]. Elle repose sur un critère pour déterminer le nombre de zéros du polynôme dans un disque de centre et de rayon donnés et sur une généralisation systématique de l'imbrication d'intervalles[10].

Une méthode paramétrique de calcul de la moyenne de nombres non négatifs qui fournit certaines des moyennes les plus courantes dans des cas particuliers est appelée moyenne de Lehmer.

Le problème de Lehmer[11] est un problème encore non résolu qui concerne les zéros d'un polynôme. Il se formule ainsi : pour tout polynôme à coefficients entiers, dont tous les zéros sont à l'extérieur du cercle unité, existe-t-il une borne inférieure ${\displaystyle C>1}$ où ${\displaystyle C}$ est la mesure de Mahler ?

La plus petite mesure trouvée à ce jour concerne un polynôme de degré 10 et vaut ${\displaystyle 1{,}17628}$. Ce nombre s'appelle le nombre de Lehmer[12].

Le problème du totient de Lehmer[13] - [14] fait aussi partie des questions faciles à formuler mais encore ouvertes : Existe-t-il un entier naturel composé ${\displaystyle n}$ tel que l'indicatrice d'Euler ${\displaystyle \varphi }$ vérifie ${\displaystyle \varphi (n)|(n-1)}$ ? Un tel entier ${\displaystyle n}$ serait un nombre pseudo-premier remarquable, en revanche l'inexistence d'un tel entier aurait pour conséquence la validité du critère${\displaystyle \,n\equiv 1\mod \varphi (n)\,}$ pour les nombres premiers.

Les matrices symétriques à éléments rationnels, appelées matrices de Lehmer[15] sont des matrices dont les inverses sont des matrices tridiagonales avec des éléments strictement négatifs sur les deux diagonales non principales. Elles peuvent être spécifiés analytiquement et peuvent être utilisés pour tester des programmes d'inversion numérique.

Une bijection entre une permutation et un entier positif dans un système de numération factorielle est appelée code de Lehmer[16].

Les cinq de Lehmer sont les cinq nombres naturels 276, 552, 564, 660, 966 inférieurs à 1000 pour lesquels le comportement asymptotique de leur suite aliquote (la suite de la somme itérée de tous leurs diviseurs propres) n'est pas encore déterminée[17].

La recherche de chaînes de Cunningham remonte également à Lehmer. Ce sont des suites de nombres premiers dans lesquelles des éléments consécutifs vérifient ${\displaystyle p_{i}=2\cdot p_{i-1}+1}$. La motivation vient des tests de primalité de type Lucas, où pour tester si ${\displaystyle p}$ est premier, on doit factoriser ${\displaystyle (p-1)}$. Lehmer a trouvé trois de ces chaînes de sept nombres premiers où le plus petit nombre premier est inférieur à ${\displaystyle 10^{7}}$[18].

Lehmer a été directeur de thèse de Tom Apostol, John Brillhart, Ronald Graham, David Singmaster, Harold Stark et Peter Weinberger, entre autres.

• (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Derrick Henry Lehmer », sur MacTutor, université de St Andrews

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