Matrice de Lehmer

Les matrices de Lehmer d'ordre 2, 3 et 4 et leurs inverses sont les suivantes :

${\displaystyle {\begin{array}{lllll}A_{2}={\begin{pmatrix}1&1/2\\1/2&1\end{pmatrix}}&A_{2}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3\\-2/3&{\color {Brown}{\mathbf {4/3} }}\end{pmatrix}};\\\\A_{3}={\begin{pmatrix}1&1/2&1/3\\1/2&1&2/3\\1/3&2/3&1\end{pmatrix}}&A_{3}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3&\\-2/3&32/15&-6/5\\&-6/5&{\color {Brown}{\mathbf {9/5} }}\end{pmatrix}};\\\\A_{4}={\begin{pmatrix}1&1/2&1/3&1/4\\1/2&1&2/3&1/2\\1/3&2/3&1&3/4\\1/4&1/2&3/4&1\end{pmatrix}}&A_{4}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3&&\\-2/3&32/15&-6/5&\\&-6/5&108/35&-12/7\\&&-12/7&{\color {Brown}{\mathbf {16/7} }}\end{pmatrix}}.\\\end{array}}}$

Si ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ sont les matrices de Lehmer d'ordre ${\displaystyle n}$ et ${\displaystyle m}$, et si ${\displaystyle m>n}$ , alors ${\displaystyle A}$ est une sous- matrice de ${\displaystyle B}$.

Les valeurs des éléments d'une matrice de Lehmer tendent vers zéro en s'éloignant de la diagonale, où tous les éléments sont égaux à 1.

L'inverse d'une matrice de Lehmer est une matrice tridiagonale, dont les diagonales non principales ont des entrées strictement négatives. Si ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ sont les matrices de Lehmer d'ordre ${\displaystyle n}$ et ${\displaystyle m}$, et si ${\displaystyle m>n}$, alors l'inverse ${\displaystyle A^{-1}}$ est une sous-matrice de ${\displaystyle B^{-1}}$, à l'exception de l'élément ${\displaystyle A_{n,n}^{-1}}$ qui n'est pas égal à ${\displaystyle B_{n,n}^{-1}}$.

La trace de la matrice de Lehmer d'ordre ${\displaystyle n}$ est égale à ${\displaystyle n}$.

• Derrick Henry Lehmer
• Matrice de Hilbert

• Morris Newman et John Todd, « The evaluation of matrix inversion programs », Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, vol. 6,‎ 1958, p. 466-476.