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Mesure de Mahler

En mathématiques, la mesure de Mahler est une mesure de la complexité des polynômes. Elle porte le nom de Kurt Mahler (1903–1988) et était à l'origine utilisée dans la recherche de grands nombres premiers. En raison de la connexion à des valeurs particulières des fonctions L, elle fait l'objet de nombreuses conjectures en théorie analytique des nombres .

Définition

La mesure de Mahler d'un polynôme à coefficients réels ou complexes est par définition :

est la norme de . A l'aide de la formule de Jensen, on peut montrer que pour la factorisation :

on obtient l'expression :

.

La mesure de Mahler logarithmique d'un polynôme est définie comme

.

La mesure de Mahler d'un nombre algébrique est définie comme la mesure de Mahler du polynôme minimal de sur .

Propriétés

  • La mesure de Mahler est multiplicative, c'est-à-dire :
  • Pour les polynômes cyclotomiques et leurs produits, on a .
  • Théorème de Kronecker : Si un polynôme unitaire irréductible à coefficients entiers et , alors soit , soit est un polynôme cyclotomique.
  • La conjecture de Lehmer (en) stipule qu'il existe une constante telle que tout polynôme irréductible à coefficients entiers est soit cyclotomique soit vérifie .
  • La mesure de Mahler d'un polynôme unitaire à coefficients entiers est un nombre de Perron .

Valeurs spéciales des fonctions L

Il existe de nombreuses relations, en partie conjecturées et en partie également prouvées, entre les mesures de Mahler (logarithmiques) des polynômes et des valeurs partiulières des fonctions L .

Historiquement, le premier exemple est la formule de Smyth

.

Une conjecture de Ted Chinburg affirme que, pour tout entier positif , il existe un polynôme de Laurent et un nombre rationnel tel que

est le discriminant du caractère .

Une approche qui remonte à Boyd et Rodriguez-Villegas consiste à représenter les mesures logarithmiques de Mahler d'une certaine classe de polynômes comme des combinaisons linéaires rationnelles de valeurs du dilogarithme de Bloch-Wigner d'arguments algébriques, et de mettre ces valeurs à leur tour en relation avec le volume d'une variété hyperbolique, et en les reliant à des valeurs spécifiques de fonctions zêta via le théorème de Borel.

Mesure de Mahler pour les polynômes de plusieurs variables

La mesure de Mahler d'un polynôme est défini de manière analogue par la formule

On peut montrer que converge (Lawton 1983).

Pour , soit

Alors on a :

Bibliographie

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  • (en) David Boyd, « Mahler’s measure and Special Values of L-functions », Pacific Northwest Number Theory Conference, University of British Columbia, .
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  • (en) Daniel S. Silver et Susan G. Williams, « Lehmer’s question, graph complexity growth and links », The New York Journal of Mathematics, vol. 27, , p. 981-1008 (lire en ligne).

Notes et références

    Liens externes

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