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PĂ©riode de Gauss

En mathématiques et plus précisément en arithmétique modulaire, une période de Gauss est une certaine sorte de somme de racines de l'unité. Les périodes de Gauss permettent des calculs explicites dans les corps cyclotomiques, en relation avec la théorie de Galois et l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini. Elles sont à la base de la théorie classique appelée cyclotomie.

Elles furent introduites par le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss et furent à la base de sa théorie de constructions à la rÚgle et au compas. Par exemple, la construction du polygone à 17 cÎtés qui fit sa réputation dépendait de l'algÚbre de telles périodes, dont

est un exemple lorsqu'elle est Ă©crite sous la forme

Définitions générales

Soient un entier naturel n > 1, un sous-groupe H du groupe

des inversibles modulo n, et

Une pĂ©riode de Gauss de H est une somme P des racines primitives n-iĂšmes de 1 de la forme ζa, oĂč a parcourt une classe dans G suivant H.

Une autre forme de cette dĂ©finition peut ĂȘtre Ă©tablie en termes de forme trace. Nous avons

pour un certain sous-corps L de ℚ(ζ) et un certain j premier avec n. Ici, pour correspondre Ă  la forme prĂ©cĂ©dente de la dĂ©finition, on prend G comme Ă©tant le groupe de Galois de ℚ(ζ)/ℚ et H celui de ℚ(ζ)/L.

Exemple

La situation est la plus simple lorsque n est un nombre premier p > 2. Dans ce cas, G est cyclique d'ordre p – 1, et possĂšde un sous-groupe H d'ordre d pour chaque facteur d de p – 1. Par exemple, nous pouvons prendre H d'indice 2. Dans ce cas, H est constituĂ© des rĂ©sidus quadratiques modulo p. Par consĂ©quent, un exemple d'une pĂ©riode de Gauss est

sommĂ©e sur (p – 1)/2 termes. Il existe aussi une pĂ©riode P* rĂ©alisĂ©e avec les exposants des rĂ©sidus non quadratiques. Il est facile de voir que nous avons

puisque le cĂŽtĂ© gauche de l'Ă©quation ajoute toutes les racines primitives p-iĂšmes de 1. Nous savons aussi, Ă  partir de la dĂ©finition de la trace, que P est liĂ© Ă  une extension quadratique de ℚ. Par consĂ©quent, comme Gauss le savait, P satisfait Ă  une Ă©quation quadratique Ă  coefficients entiers. Élever au carrĂ© P comme une somme conduit Ă  un problĂšme de comptage, concernant combien de rĂ©sidus quadratiques sont suivis par des rĂ©sidus quadratiques, qui peut ĂȘtre rĂ©solu par des mĂ©thodes Ă©lĂ©mentaires (comme nous dirions maintenant, calculer une fonction zĂȘta locale, pour une courbe qui est une conique). Ceci donne le rĂ©sultat :

ou , pour ou respectivement.

Ceci, par consĂ©quent, nous donne l'information prĂ©cise de quels corps quadratiques sont inclus dans (ceci pourrait ĂȘtre dĂ©duit aussi par des arguments de ramification en thĂ©orie algĂ©brique des nombres ; voir Entier quadratique).

Comme il l'a montré, la racine carrée correcte à prendre est la positive (resp. i fois le réel positif), dans les deux cas.

Sommes de Gauss

Les périodes de Gauss sont reliées intimement à une autre classe de sommes de racines de l'unité, maintenant généralement appelée sommes de Gauss (quelquefois sommes gaussiennes). La quantité

qui est apparue ci-dessus est l'exemple non-trivial le plus simple. On observe qu'elle peut aussi ĂȘtre Ă©crite

oĂč ici reprĂ©sente le symbole de Legendre (a/p), et que la somme est prise sur les classes de rĂ©sidus modulo p. Le cas gĂ©nĂ©ral des sommes de Gauss remplace ce choix pour par n'importe quel caractĂšre de Dirichlet modulo n, la somme Ă©tant prise sur les classes de rĂ©sidus modulo n (avec la convention usuelle si (a,n) > 1).

Ces quantités sont douées d'ubiquité en théorie des nombres; par exemple, elles apparaissent significativement dans les équations fonctionnelles des fonctions L (les sommes de Gauss sont, dans un sens, analogues à la fonction gamma dans un corps fini).

Lien de parenté entre les périodes et les sommes

La relation avec les pĂ©riodes de Gauss vient de l'observation suivante : l'ensemble des a modulo n pour lesquels prend une valeur donnĂ©e est une orbite O du type introduit plus tĂŽt. Les sommes de Gauss peuvent, par consĂ©quent, ĂȘtre Ă©crites comme des combinaisons linĂ©aires des pĂ©riodes de Gauss, avec les coefficients ; la rĂ©ciproque est Ă©galement vraie, comme une consĂ©quence des relations d'orthogonalitĂ© (cf le paragraphe AlgĂšbre du groupe de l'article CaractĂšre d'un groupe fini) pour le groupe . En d'autres termes, les deux ensembles de nombres sont transformĂ©s de Fourier l'un de l'autre. Les pĂ©riodes de Gauss sont liĂ©es dans des corps plus petits, en gĂ©nĂ©ral, puisque les valeurs du lorsque n est un nombre premier p sont les racines (p – 1)-iĂšmes de l'unitĂ©. D'autre part, les propriĂ©tĂ©s algĂ©briques des sommes de Gauss sont plus faciles Ă  transposer.


(en) Cet article est partiellement ou en totalitĂ© issu de l’article de WikipĂ©dia en anglais intitulĂ© « Gaussian period » (voir la liste des auteurs).
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