Caractère de Dirichlet

L'ensemble Û des caractères modulo n forme un groupe abélien fini isomorphe à U. En particulier :

• 

  Groupe ${\displaystyle {\widehat {U}}}$ des caractères u modulo 5
  Les valeurs non nulles du caractère sont des racines φ(n)-ièmes de l'unité. En effet, l'ordre de U est φ(n), où φ désigne l'indicatrice d'Euler.
• Le produit de deux caractères est un caractère.
• Le conjugué d'un caractère est son caractère inverse pour la multiplication. Autrement dit (pour tout caractère et tout élément de U) : l'image de l'inverse est le conjugué de l'image.
• Les caractères de Dirichlet forment une base orthonormale du ℂ-espace vectoriel ℂ^U des fonctions de U dans ℂ, pour le produit hermitien < , > défini par :${\displaystyle \forall f,g\in \mathbb {C} ^{U}\quad \langle f,g\rangle ={\frac {1}{\varphi (n)}}\sum _{x\in U}{\overline {f(x)}}g(x).}$

La transformée de Fourier d'une fonction f de ℂ^U est la fonction ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ de Û dans ℂ définie par :

${\displaystyle \forall \chi \in {\widehat {U}}\quad {\widehat {f}}(\chi )={\frac {1}{\sqrt {\varphi (n)}}}\sum _{x\in U}f(x){\overline {\chi (x)}}.}$

La théorème de Plancherel exprime l'égalité suivante :

${\displaystyle \forall f\in \mathbb {C} ^{U}\quad f={\frac {1}{\sqrt {\varphi (n)}}}\sum _{\chi \in {\widehat {U}}}{\widehat {f}}(\chi )\chi .}$

Les caractères à valeurs réelles sont les morphismes de U dans {–1, 1} (les seules racines réelles de l'unité). Le caractère principal est le morphisme trivial. Les caractères non principaux à valeurs réelles sont les éléments d'ordre 2 du groupe Û, isomorphe à U. Il en existe dès que l'ordre du groupe est pair, donc dès que n > 2 d'après la proposition suivante.

• Si n est strictement plus grand que 2, alors U est d'ordre pair.
  En effet, si n est divisible par un nombre premier p > 2 alors φ(n) est divisible par le nombre pair p – 1, et sinon, n est égal à 2^r où r est un entier strictement supérieur à 1 et φ(n) est égal à 2^{r – 1}.

La proposition suivante généralise la construction du symbole de Legendre, qui correspond au cas particulier où n est premier et impair.

• Si n est une puissance d'un nombre premier impair alors il existe un unique caractère non principal à valeurs réelles.
  En effet, dans ce cas, U (donc aussi Û) est non seulement d'ordre pair mais cyclique (cf. § « Cas où n n'est pas premier » de l'article « Anneau ℤ/nℤ ») donc possède un unique élément d'ordre 2.

Les séries L de Dirichlet sont les généralisations directes de la fonction zêta de Riemann et apparaissent comme prééminentes dans l'hypothèse de Riemann généralisée.

La série L de Dirichlet d'un caractère ${\displaystyle \chi \in {\widehat {U}}}$, notée ${\displaystyle L(s,\chi )}$ est définie, pour tout nombre complexe ${\displaystyle s}$ de partie réelle > 1, par la série absolument convergente :

${\displaystyle \forall s\in \mathbb {C} \;\;\;{\text{tel que}}\;\;\;\mathrm {Re} (s)>1\qquad L(s,\chi ):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}$.

Exemple

Si ${\displaystyle \chi }$ est le caractère principal modulo 3 illustré plus haut, alors ${\displaystyle L(s,\chi )=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {0}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {0}{6^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+\dots }$.

Par prolongement analytique, la fonction L peut être étendue en une fonction méromorphe sur le plan complexe.

La fonction χ étant complètement multiplicative, un calcul similaire à celui effectué par Euler pour la fonction zêta permet de transformer la série L en un produit infini indexé par l'ensemble ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ des nombres premiers. Un tel produit porte le nom de « produit eulérien ».

${\displaystyle \forall s\in \mathbb {C} \;\;\;{\text{tel que}}\;\;\;\mathrm {Re} (s)>1\qquad L(s,\chi )=\prod _{p\in {\mathcal {P}}}{\frac {1}{1-p^{-s}\chi (p)}}}$.

De même que celui d'Euler, ce produit infini est absolument convergent, si bien que la série suivante l'est aussi et fournit — comme pour la fonction ζ, qui correspond à χ = 1 — une branche de son logarithme complexe, c'est-à-dire une fonction holomorphe sur le demi-plan Re(s) > 1, notée ${\displaystyle \log L}$, telle que ${\displaystyle \exp(\log L(s,\chi ))=L(s,\chi )}$ :

${\displaystyle \log L(s,\chi )=\sum _{p\in {\mathcal {P}}}\sum _{k\in \mathbb {N} ^{*}}{\frac {\left(p^{-s}\chi (p)\right)^{k}}{k}}=\sum _{p\in {\mathcal {P}}}\sum _{k\in \mathbb {N} ^{*}}{\frac {\chi (p^{k})}{kp^{ks}}}}$.

L'objectif initial des caractères de Dirichlet est de dénombrer les nombres premiers dans une classe m de U, ce qui revient à démontrer le théorème de la progression arithmétique.

On définit une fonction ω de S × U dans ℂ, où S désigne le demi-plan complexe des nombres dont la partie réelle est strictement supérieure à 1 :

${\displaystyle \forall u\in U\quad \forall s\in \mathbb {C} \;\;\;{\text{tel que}}\;\;\;\mathrm {Re} (s)>1\qquad \omega (s,u)={\frac {1}{\varphi (n)}}\sum _{\chi \in {\widehat {U}}}{\overline {\chi (u)}}\;\log L(s,\chi )}$.

Le théorème de Plancherel (voir supra) permet d'exprimer ω sous une autre forme, grâce à laquelle la valeur en (s, m) fournit suffisamment d'informations pour conclure :

${\displaystyle \forall u\in U\quad \forall s\in \mathbb {C} \;\;\;{\text{tel que}}\;\;\;\mathrm {Re} (s)>1\qquad \omega (s,u)=\sum _{p\in {\mathcal {P}}}\quad \sum _{k\in \mathbb {N} ^{*}{\text{ et }}p^{k}\in u}{\frac {1}{kp^{ks}}}.}$

Démonstration

Fixons ${\displaystyle s}$, notons ${\displaystyle h(u)}$ la série (absolument convergente) de droite, et calculons la transformée de Fourier de ${\displaystyle h}$.

${\displaystyle {\sqrt {\varphi (n)}}\,{\widehat {h}}(\chi )=\sum _{u\in U}h(u){\overline {\chi (u)}}=\sum _{u\in U}\sum _{p\in {\mathcal {P}}}\sum _{k\in \mathbb {N} ^{*}{\text{ et }}p^{k}\in u}{\frac {\overline {\chi (u)}}{kp^{ks}}}=\sum _{p\in {\mathcal {P}}}\sum _{k\in \mathbb {N} ^{*}}{\frac {\overline {\chi (p^{k})}}{kp^{ks}}}=\log L(s,{\overline {\chi }})}$.

D'après la formule de Plancherel, ${\displaystyle h}$ est donc égale à la transformée de Fourier (définie comme ci-dessus mais en intervertissant U et Û) de la fonction ${\displaystyle \chi \mapsto {\frac {1}{\sqrt {\varphi (n)}}}\log L(s,\chi )}$, c'est-à-dire à ${\displaystyle u\mapsto \omega (s,u)}$.