Demi-plan

Si la droite (d) a pour équation ax + by + c = 0, les deux demi-plans ouverts ont pour inéquations ax + by + c < 0 et ax + by + c > 0 et les demi-plans fermés par ax + by + c ≤ 0 et ax + by + c ≥ 0. Cette caractérisation du demi-plan permet de démontrer facilement qu'un demi-plan est convexe, que le segment reliant deux points dans des demi-plans différents coupe la frontière et qu'une demi-droite d'origine un point de la frontière et passant par un point d'un demi-plan est entièrement incluse dans ce demi-plan[2].

Si la droite a pour équation y = mx + p, le demi-plan d'inéquation y < mx + p est appelé demi-plan « sous » la droite (d) et le demi-plan d'inéquation y > mx + p est appelé demi-plan « au-dessus » de la droite (d).

Si A, B, et C sont trois points non alignés et si G est le barycentre du système pondéré {(A,a), (B,b), C(c)}, la position de G par rapport à la droite (AB) est déterminée par les signes comparés de c et a+b+c. Si c et a + b + c sont de même signe alors G est dans le demi-plan de frontière (AB) contenant C, si c et a+b+c sont de signes contraires, le point G est dans l'autre demi-plan.

Cette caractérisation permet de définir l'intérieur d'un triangle comme l'ensemble des barycentres des sommets affectés de poids de même signe.

Si maintenant le plan est muni d'une structure euclidienne, la médiatrice d'un segment [AB], où A et B sont deux points distincts, est l'ensemble des points à égale distance de A et B ; c'est donc l'ensemble des points M tels que MA = MB. Cette médiatrice partage le plan en deux demi-plans, l'un contenant A et tous les points qui sont plus proches de A que de B, ensemble des points M tels que MA < MB et l'autre contenant B, correspondant à l'ensemble des points M tels que MA > MB.

Si de plus le plan est orienté, et si une droite est orientée par un vecteur u et passe par A, on distingue deux demi-plans : l'un situé « à droite » de (d), ensemble des points P tels que l'angle (u, AP) soit de sinus négatif appelé demi-plan négatif, l'autre situé « à gauche » de (d), ensemble des points P tels que l'angle (u, AP) soit de sinus positif appelé demi-plan positif[3].

En coordonnées polaires, si la droite ne passe pas par l'origine et si son équation polaire est

${\displaystyle r\cos(\theta -\varphi _{0})=r_{0}}$ où ${\displaystyle (r,\theta )}$ sont les coordonnées polaires de M et ${\displaystyle (r_{0},\varphi _{0})}$ sont les coordonnées polaires du projeté orthogonal de O sur (d).

alors le demi-plan ouvert ne contenant pas l'origine est caractérisé par l'inéquation

${\displaystyle r\cos(\theta -\varphi _{0})>r_{0}.}$

Si la droite passe par l'origine et a pour vecteur directeur u de coordonnées polaires ${\displaystyle (1;\alpha _{0})}$, le demi-plan positif vérifie

${\displaystyle \sin(\theta -\alpha _{0})>0.}$