Fonction zêta locale

Supposons que tous les ${\displaystyle N_{k}\,}$ soient égaux à 1 ; ceci se produit par exemple, si nous démarrons avec une équation comme X = 0, c’est-à-dire que géométriquement, nous prenons pour V un point. Alors

${\displaystyle G(t)=-\log(1-t)~}$

est le développement d'un logarithme (pour |t| < 1). Dans ce cas, nous avons

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{1-t}}}$.

Pour prendre quelque chose de plus intéressant, soit V la droite projective sur F. Si F possède q éléments, alors elle a q + 1 points, incluant comme nous devons, le point à l'infini. Par conséquent, nous aurons

${\displaystyle N_{k}=q_{k}+1\,}$

et

${\displaystyle G(t)=-\log(1-t)-\log(1-qt)\,}$,

pour |t| suffisamment petit.

Dans ce cas, nous avons

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{(1-t)(1-qt)}}\,}$.

Le rapport entre les définitions de G et Z peut être expliqué de nombreuses manières. En pratique, cela rend Z une fonction rationnelle de t, quelque chose qui est intéressant même dans le cas où V est une courbe elliptique sur un corps fini.

Ce sont les fonctions Z qui sont conçues pour multiplier, pour obtenir les fonctions zêta globales. Celles-ci impliquent différents corps finis (par exemple la famille entière de corps Z/p.Z lorsque p parcourt l'ensemble des nombres premiers. Dans ce rapport, la variable t subit la substitution par ${\displaystyle p^{-s}}$, où ${\displaystyle s}$ est la variable complexe traditionnellement utilisée dans les séries de Dirichlet.

Ceci explique aussi pourquoi on utilise la dérivée logarithmique par rapport à ${\displaystyle s}$.

Avec cet arrangement, les produits de Z dans les deux cas sortent comme ${\displaystyle \zeta (s)}$ et ${\displaystyle \zeta (s)\zeta (s-1)}$.

Pour les courbes projectives C sur F qui sont non singulières, on peut montrer que

${\displaystyle Z(t)={\frac {P(t)}{(1-t)(1-qt)}}\,}$,

avec P(t) un polynôme, de degré 2g où g est le genre de C. L'hypothèse de Riemann pour les courbes sur les corps finis établit que les racines de P ont pour module q^–1/2, où q = |F|.

Par exemple, pour le cas des courbes elliptiques, il y a deux racines, et il est facile de montrer que leur produit est q⁻¹. Le théorème de Hasse établit qu'elles ont le même module et ceci a des conséquences immédiates pour le nombre de points.

Weil a démontré ceci pour le cas général, aux environs de 1940 (CRAS, avril 1940) : il passa beaucoup de temps, dans les années qui suivirent, à préparer la géométrie algébrique impliquée. Ceci l'a conduit aux conjectures de Weil générales, finalement démontrées une génération plus tard.