Courbe elliptique

L'addition de deux points sur une courbe elliptique E est rendue possible par la propriété suivante, qui est un cas particulier du théorème de Bézout sur l'intersection de courbes algébriques sur les réels : une droite sécante passant par deux points de la courbe recoupe la courbe en un troisième point (distinct ou non). On peut s'en convaincre en regardant les figures ci-dessous ou, plus rigoureusement, en lisant la section suivante. Une fois cette propriété admise, on procède ainsi.

Pour définir l'addition de deux points distincts P, Q sur la courbe elliptique E, on remarque d'abord que par ces deux points passe une droite bien définie. À cause de la propriété indiquée, cette droite recoupe donc la courbe E en un troisième point R. Intuitivement, ce point R de la courbe, bien défini à partir des deux points P et Q, serait un bon candidat pour être leur somme. Mais ce choix ne donnerait pas les propriétés qu'on attend d'une bonne addition : par exemple, on ne pourrait pas bien définir le « zéro » (l'élément neutre additif). On complique donc un peu la construction en prenant comme « somme » de P et Q le symétrique de ce point R par rapport à l'axe des abscisses. Ceci revient à prendre le point de même abscisse x que R et d'ordonnée opposée à celle de R : à cause de la forme de l'équation de la courbe, ce point appartient bien à la courbe, comme souhaité. On note ce point tout naturellement P + Q. On verra plus loin pourquoi cette notation est justifiée, c'est-à-dire pourquoi la construction faite a toutes les propriétés qu'on attend d'habitude d'une addition.

Il y a quelques cas délicats :

• Si la droite (P Q) est verticale, on considère que le troisième point d'intersection R est le point à l'infini, et qu'il est son propre symétrique par rapport à l'axe des abscisses. Donc la somme des deux points est le point à l'infini.
• Si la droite (P Q) est la tangente à la courbe en l'un des deux points, on considère que le troisième point d'intersection R est encore le point de tangence, et la somme est donc son symétrique. Cela correspond bien à l'idée intuitive (mais qu'on peut rendre parfaitement rigoureuse) qu'une tangente a un contact double avec la courbe.
• Enfin, pour définir la somme d'un point avec lui-même (P + P ou encore 2P), on utilise encore la tangente au point P = Q. Elle recoupe la courbe en un troisième point (qui peut être d'ailleurs distinct ou non de P) et 2P est le symétrique de ce point.

Voici des illustrations des différents cas possibles.

On voit sur les graphes que la définition donnée est compatible avec le choix du point à l'infini comme « zéro », élément neutre pour l'addition. Soit P₀ ce point à l'infini. Pour trouver P + P₀, on doit, selon la méthode décrite, tracer la droite passant par le point P et le point P₀ : c'est la verticale passant par P. Elle recoupe justement la courbe elliptique au point P', symétrique de P par rapport à la droite des abscisses ; le point P + P₀ cherché, par définition de l'addition, est le symétrique de ce point P', donc c'est P lui-même : on a bien trouvé que P + P₀ = P, ce qui correspond bien à ce qu'on attend d'un « zéro » pour l'addition. Dans la suite, ce point sera donc simplement noté 0 ou 0_E (pour rappeler qu'il s'agit du zéro pour l'addition sur la courbe E), il ne faut pas le confondre avec le point origine O de coordonnées (0, 0) dans le plan.

Cette construction géométrique se traduit aussi par des équations : on peut calculer[2] les coordonnées (x_P+Q, y_P+Q) du point P + Q en fonction de celles de P = (x_P, y_P) et de Q = (x_Q, y_Q). Tous ces points sont sur la courbe elliptique E.

• 1^er cas : x_P ≠ x_Q. On pose ${\displaystyle s=(y_{P}-y_{Q})/(x_{P}-x_{Q})}$ et ${\displaystyle t=(y_{Q}x_{P}-y_{P}x_{Q})/(x_{P}-x_{Q})}$. La droite qui passe par les points P et Q a pour équation ${\displaystyle y=sx+t}$ (le nombre s est bien sa pente). On peut calculer l'intersection de cette droite avec E, et on trouve trois solutions : les points P = (x_P, y_P) et Q = (x_Q, y_Q), bien sûr, et un troisième point R de coordonnées ${\displaystyle x_{R}=s^{2}-x_{P}-x_{Q}}$, ${\displaystyle y_{R}=sx_{R}+t}$. Finalement, le point P + Q (qui est le symétrique de R par rapport à l'axe des abscisses) a pour coordonnées :

${\displaystyle x_{P+Q}{=}x_{R}{=}s^{2}-x_{P}-x_{Q}}$ ${\displaystyle y_{P+Q}{=}-y_{R}{=}-s(s^{2}-x_{P}-x_{Q})-t}$.

• 2^e cas : x_P = x_Q et y_P ≠ y_Q. Dans ce cas, nécessairement ${\displaystyle y_{P}=-y_{Q}}$ (à cause de l'équation de la courbe). La droite sécante qui joint les deux points est verticale, donc le troisième point d'intersection de cette sécante avec la courbe est le point à l'infini. Le point P + Q est donc le point à l'infini.
• 3^e cas : x_P = x_Q et y_P = y_Q ≠ 0, autrement dit P = Q et ce point n'est pas sur l'axe des abscisses. L'équation de la tangente à la courbe en P est ${\displaystyle y=sx+t}$, avec cette fois ${\displaystyle s={(3{x_{P}}^{2}+a)}/{(2y_{P})}}$ et ${\displaystyle t=y_{P}-{(3{x_{P}}^{2}+a)x_{P}}/{(2y_{P})}}$. Le point P + P (qu'on note naturellement 2P) a donc pour coordonnées :

${\displaystyle x_{2P}{=}s^{2}-2x_{P}}$ ${\displaystyle y_{2P}{=}-y_{P}+s(x_{P}-x_{2P})}$.

• 4^e cas : x_P = x_Q et y_P = y_Q = 0. Le point en question se trouve sur l'axe des abscisses, on voit sur l'équation que la tangente à la courbe passant par ce point est verticale, donc le troisième point d'intersection de cette tangente avec la courbe est le point à l'infini. Le point P + P = 2P est donc le point à l'infini.

On vient donc de définir, géométriquement et sur les coordonnées, une loi de composition sur les points de la courbe E, notée + : autrement dit, on a défini pour tous les points P et Q de la courbe, distincts ou non, le point P + Q. Le point à l'infini apparaît ainsi comme élément neutre (on le note traditionnellement 0_E). L'opposé d'un point P est alors le symétrique de P par rapport à la droite des abscisses ; on le note –P.

Démonstration :

• Si deux points P et Q sont des points à coordonnées réelles de la courbe ou le point à l'infini, il en est de même de P + Q et de –P : la loi définie est bien une loi de composition interne.
• Le fait que le point à l'infini est élément neutre a été déjà vérifié plus haut. Ceci provient du fait que la droite joignant un point quelconque P au point à l'infini est la droite verticale passant par P, elle recoupe la courbe au point symétrique de P par rapport à l'axe des abscisses ; la somme de P et de 0_E est le symétrique de ce point, donc P lui-même.
• La droite joignant un point quelconque P et son symétrique par rapport à l'axe des abscisses, noté –P , est une droite verticale, le 3^e point d'intersection avec la courbe est donc le point à l'infini (qui est son propre symétrique par rapport à l'axe des abscisses), d'où P + (–P) = 0_E.
• La commutativité est évidente, car la droite joignant deux points P et Q est aussi… la droite joignant les points Q et P. Donc P + Q = Q + P.
• La seule propriété difficile à démontrer est en fait l'associativité, c'est-à-dire que, pour trois points quelconques ${\displaystyle (P+Q)+R=P+(Q+R)}$.On peut démontrer cette associativité directement par le calcul, à l'aide des équations données plus haut.

La courbe elliptique coupant les deux cubiques rouge et bleue en huit points communs (dont un point en l'infini), le neuvième point (vert) est aussi commun. On prouve ainsi que P+(Q+R) = (P+Q)+R.

Une autre démonstration de l'associativité repose sur un résultat de géométrie algébrique, le théorème fondamental de Max Noether[3]. Une conséquence en est le théorème des neuf points : si la courbe E intersecte deux courbes cubiques C et C' chaque fois en 9 points, et si 8 de ces points sont les mêmes pour C et C', alors le 9^e point d'intersection est aussi le même. L'idée de la preuve de l'associativité est alors de fabriquer les deux cubiques C et C' de manière à contrôler huit de leurs points d'intersection avec la courbe elliptique et à s'arranger pour que le 9^e soit l'un des deux points (P + Q) + R ou P + (Q + R) que l'on veut comparer (ou leurs symétriques). On considère donc la droite L₁ passant par les points P et Q, la droite M₁ passant par les points P + Q et 0_E, la droite L₂ passant par les points P + Q et R, d'une part, et d'autre part, la droite M₂ passant par les points Q et R, la droite L₃ passant par les points Q + R et 0_E et la droite M₃ passant par les points Q + R et P. Le produit des équations des trois droites L₁, L₂, L₃ définit une courbe cubique C, de même le produit des équations des trois droites M₁, M₂, M₃ définit une courbe cubique C'. Les intersections de ces deux cubiques avec la courbe elliptique E sont 9 points, dont 8 sont communs par construction (P, Q, R, 0_E, P + Q, –(P + Q), Q + R, –(Q + R)). Le 9^e point d'intersection de E avec C est le point –((P + Q) + R), celui de E avec C' est le point –(P + (Q + R)). D'après le théorème cité, ces points sont les mêmes, donc aussi leurs symétriques, d'où l'associativité.

Une troisième démonstration de l'associativité peut encore être donnée dans le cadre de la géométrie algébrique. Reposant cette fois sur le théorème de Riemann-Roch, elle déduit directement les propriétés de l'addition sur la courbe elliptique de celle du groupe de Picard de la courbe[4].

• Selon son discriminant, une courbe elliptique a un ou trois points à coordonnées réelles sur l'axe des abscisses, c'est-à-dire tels que ${\displaystyle y=0}$. En ces points, la tangente est verticale (c'est-à-dire ici parallèle à l'axe des ordonnées), son 3^e point d'intersection avec la courbe est le point à l'infini. Donc P + P = 2P = 0. On dit qu'un tel point est d'ordre 2. Puisque P = –P, l'ensemble formé d'un tel point et du point à l'infini forme un sous-groupe du groupe des points de la courbe ; il est cyclique d'ordre 2. Si la courbe a trois points d'ordre 2, c'est-à-dire lorsque le discriminant Δ est positif, l'ensemble de ces points forme (avec le point à l'infini) un groupe de cardinal 4, isomorphe à deux copies du groupe cyclique d'ordre 2, c'est-à-dire un groupe de Klein.
• Quant aux points d'ordre 3, ce sont ceux qui vérifient P + P + P = 3P = 0, soit 2P = –P. Autrement dit, la tangente au point P doit recouper la courbe encore une fois au même point. Ceci correspond à un point d'inflexion, où la tangente a un contact d'ordre supérieur à 2 avec la courbe.

En utilisant par exemple les équations d'une tangente à la courbe données section I.2, on trouve que les abscisses x des points d'inflexion doivent vérifier une équation du 4^e degré[5]. Cette équation a 4 racines complexes et à chacune correspondent deux valeurs de y ; mais on peut montrer qu'il y a seulement deux solutions ${\displaystyle (x_{0},\pm y_{0})}$ dont les coordonnées sont réelles, soit deux points d'inflexion à distance finie. Le point à l'infini est aussi un point d'inflexion et ces trois points sont alignés[6]. Ils forment un sous-groupe cyclique d'ordre 3.

• Plus généralement, les points à coordonnées réelles d'ordre n (c'est-à-dire tels que P + P + … + P = nP = 0) forment un sous-groupe cyclique d'ordre n ou est isomorphe à deux copies du groupe cyclique d'ordre n.

La figure associée au théorème de clôture dans le Traité des propriétés projectives des figures de Jean-Victor Poncelet de 1822.

Parmi les nombreuses applications des courbes elliptiques, on peut mentionner le théorème de clôture de Poncelet par rapport à deux coniques.

Soient deux coniques non dégénérées du plan complexe projectif et sans point d'intersection double, qu'on peut représenter par les deux matrices M et N des formes quadratiques associées. Si en partant d'un point A sur l'une d'elles, on trace la tangente AA' à l'autre conique, menée de ce point, elle recoupe la première conique en un autre point B et on peut réitérer en construisant l'autre tangente BB' menée par B à la deuxième conique, etc.

Le théorème de clôture de Poncelet dit que si cette construction boucle, pour un point de départ A donné, après un nombre fini d'étapes (autrement dit si la construction ramène au point de départ, formant un polygone à un nombre déterminé de côtés), elle boucle, avec le même nombre de côtés, pour n'importe quel point de départ. Cette propriété de clôture de la construction ne dépend donc pas du point de départ, mais seulement de la disposition des deux coniques.

On peut utiliser les courbes elliptiques pour donner une preuve directe de ce résultat[7] : les points d'une conique sont paramétrables par un nombre x, la tangente est un élément de la conique duale représentable par un nombre y ; en choisissant bien le système de coordonnées, on montre que la relation entre x et y est ${\displaystyle y^{2}={\rm {det}}(Mx+N)}$, ce qui, en développant le déterminant, est l'équation d'une courbe elliptique[8].

On montre de plus qu'on passe de ${\displaystyle (A,AA')}$ à ${\displaystyle (B,BB')}$ par l'addition (au sens de l'addition sur la courbe elliptique) d'un point ${\displaystyle P_{0}}$ qui ne dépend pas de ${\displaystyle A}$, mais seulement de l'équation de la courbe elliptique, c'est-à-dire des coniques elles-mêmes. La construction boucle si et seulement si ce point ${\displaystyle P_{0}}$ est un point de torsion sur la courbe elliptique. Cette interprétation permet d'ailleurs de déterminer des paires de coniques supportant des polygones de Poncelet à un nombre voulu de côtés.

Le résultat le plus important est que tous les points à coordonnées rationnelles peuvent être construits par la méthode de la tangente et de la sécante à partir d'un nombre fini d'entre eux. Plus précisément[9] - [10] :

Il est donc le produit direct d'un nombre fini de copies de ℤ et de groupes cycliques finis.

• La démonstration[11] requiert deux ingrédients : d'abord, on montre que pour tout entier m > 1 (par exemple m = 2), le groupe-quotient E(ℚ)/mE(ℚ) est fini (ce résultat est parfois appelé théorème de Mordell-Weil faible) ; ensuite, on introduit une fonction « hauteur » h sur les points de E(ℚ) définie par ${\displaystyle h(P_{0})=0}$ et ${\displaystyle h(P)=\log \ max(|p|,|q|)}$ si le point P (distinct du point à l'infini) a pour abscisse le nombre rationnel (exprimé comme fraction réduite) ${\displaystyle x=p/q}$. Il est facile de voir que cette fonction h est telle que ${\displaystyle h(mP)}$ croît à peu près comme le carré de m et qu'il existe un nombre fini de points de la courbe de hauteur plus petite qu'un nombre donné.

La preuve du théorème est alors une variante de la méthode de descente infinie[12] et repose sur l'application successive de « divisions euclidiennes » sur la courbe : soit ${\displaystyle P\in E(\mathbb {Q} )}$ un point à coordonnées rationnelles sur la courbe, on écrit P = 2P₁ + Q₁, où Q₁ est un représentant fixé de P dans E(ℚ)/2E(ℚ), la hauteur de P₁ est de l'ordre de 1/4 de celle de P (on pourrait ici remplacer 2 par n'importe quel entier supérieur à 1, et 1/4 par 1/m²). On réitère à partir de P₁, soit P₁ = 2P₂ + Q₂, puis P₂ = 2P₃ + Q₃, etc. et on obtient finalement P comme une combinaison linéaire à coefficients entiers de points Q_i et de points de hauteur plus petite qu'un nombre fixé à l'avance : grâce au théorème de Mordell-Weil faible et à la deuxième propriété de la hauteur, le point P est donc exprimé comme combinaison linéaire à coefficients entiers de points fixés, en nombre fini.
Le théorème de Mordell-Weil n'est pas pour l'instant effectif, car on ne connaît pas de procédure générale pour déterminer les représentants de E(ℚ)/mE(ℚ).

• Le rang (en) du groupe de Mordell-Weil E(ℚ), c'est-à-dire le nombre de copies de ℤ, est appelé le rang de la courbe elliptique ; c'est donc le nombre de points d'ordre infini indépendants.

Ce rang est décrit par la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (voir ci-dessous). On conjecture qu'il peut être arbitrairement grand, bien qu'on ne connaisse que des exemples de rang assez petit.
La courbe elliptique de plus grand rang exactement déterminé connue actuellement est la courbe ${\displaystyle {\begin{aligned}y^{2}+xy+y&=x^{3}-x^{2}+31368015812338065133318565292206590792820353345x\\&+302038802698566087335643188429543498624522041683874493555186062568159847\end{aligned}}}$ de rang 19, trouvée par Noam Elkies en 2009 (on connait aussi des courbes dont on sait que le rang est supérieur à 28, sans pouvoir le déterminer exactement)[13] - [14] - [15].

• Quant au sous-groupe de torsion des points à coordonnées rationnelles de E, produit des groupes cycliques — finis — restants, les possibilités sont les suivantes[16] :

On connaît des exemples pour toutes ces possibilités. De plus, les courbes avec le même groupe de torsion appartiennent à une famille à un paramètre[17].

Points rationnels de la courbe ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+1}$

• La courbe d'équation ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+1}$ :

Le rang de cette courbe est nul et elle a 6 points à coordonnées rationnelles[18] : outre le point à l'infini, les points de coordonnées (2, 3), (0, 1), (–1, 0), (0, –1), (2, –3). On peut prouver que ce groupe est cyclique d'ordre 6 et qu'il est engendré par le point (2, 3). On a ainsi : (0, 1) = 2 (2, 3), dans le sens de (2, 3) + (2, 3) pour la loi d'addition sur la courbe, (–1, 0) = 3 (2, 3), (0, –1) = −2 (2, 3) = 4 (2, 3) et (2, –3) = − (2, 3) = 5 (2, 3), dans le sens où l'opposé d'un point est celui qui ajouté au premier point est le point élément neutre de la loi d'addition sur la courbe, c'est-à-dire le point à l'infini ; le point à l'infini est égal à 6 (2, 3). Ces relations se voient sur le graphe réel de la courbe. Par exemple, la tangente à la courbe au point de coordonnées (2, 3) passe par le point (0, –1) dont le symétrique est (0, 1), donc (0, 1) = 2 (2, 3). Les points de coordonnées (–1, 0), (0, –1) et (2, –3) sont alignés, donc la somme des deux premiers est égale au point (2, 3). Considérée comme courbe sur le corps des nombres complexes, cette courbe est associée au réseau L de périodes ${\displaystyle \omega _{1}{=}2\int _{-1}^{\infty }{(x^{3}+1)^{-1/2}\,{\rm {d}}x}}$ et ${\displaystyle \omega _{2}{=}\omega _{1}\times e^{2i\pi \over 3}}$. Les points à coordonnées rationnelles sont ceux de paramètre elliptique ${\displaystyle k\omega _{1} \over 6}$, pour ${\displaystyle k{=}0,1,\cdots ,5}$.

• La courbe d'équation ${\displaystyle y^{2}{=}x^{3}+109858299531561}$ :

Le rang de cette courbe[19] est 5 et elle a de plus trois points de torsion à coordonnées rationnelles, formant un groupe cyclique d'ordre 3. Son groupe de Mordell-Weil E(ℚ) est isomorphe à ℤ⁵ × ℤ/3ℤ. Voici une liste de 5 points générateurs indépendants d'ordre infini (engendrant donc les 5 copies de ℤ dans le groupe de Mordell-Weil) : (735 532, 630 902 573), (49704, 15 252 915), (-4578, 10 476 753), (-15260, 10 310 419), (197 379, 88 314 450). Les trois points de torsion à coordonnées rationnelles sont le point à l'infini, le point (0, 10 481 331), d'ordre 3, et son opposé (au sens de l'addition elliptique). Tous les points à coordonnées rationnelles de cette courbe s'obtiennent alors par combinaison linéaire à coefficients entiers des 6 points explicités.

• La courbe d'équation ${\displaystyle y^{2}=x^{3}-36x}$ :

Son groupe de Mordell-Weil est isomorphe à ℤ × ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ. Autrement dit, elle a quatre points à coordonnées rationnelles d'ordre 2 (le point à l'infini et les trois points d'intersection avec l'axe des abscisses : (0, 0), (6, 0), (–6, 0)) et son rang est 1. Le sous-groupe cyclique infini est engendré par le point (12, 36). À un changement de variable près, cette courbe est isomorphe à celle d'équation ${\displaystyle 6y^{2}=x^{3}-x}$, liée à la recherche de triangles rectangles en nombres (autrement dit de triplets pythagoriciens) de même aire. En effet, les côtés d'un tel triangle sont de la forme ${\displaystyle d(p^{2}-q^{2}),2pdq,d(p^{2}+q^{2})}$, pour un entier ${\displaystyle d}$ quelconque et des entiers ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$, avec ${\displaystyle p>q}$, de parité différente. L'aire du triangle est alors ${\displaystyle d^{2}pq(p^{2}-q^{2})}$. La recherche de triangles rectangles d'aire 6, par exemple, revient donc à la recherche de solutions rationnelles de l'équation ${\displaystyle 6y^{2}=x^{3}-x}$. Dans les Arithmétiques de Diophante, le problème V.8 demande de construire trois triangles de même aire donnée. L'observation 23 de Pierre de Fermat[20], qui commente ce problème, affirme que pour un triangle donné quelconque, il « en fourni[t] une infinité ayant la même aire » et pour l'aire 6, donne, en plus de la solution évidente du triangle de côtés (3, 4, 5), celui de côtés (7/10, 120/7, 1201/70), et celui de côtés (2 896 804/1 319 901, 7 216 803/1 319 901, 7 776 485/1 319 901). À partir du point ${\displaystyle P=(2,1)}$ sur la courbe ${\displaystyle 6y^{2}=x^{3}-x}$ (ou du point (12, 36) sur la courbe ${\displaystyle y^{2}=x^{3}-36x}$), point qui correspond au triangle de côtés (3, 4, 5), le point ${\displaystyle -2P=(25/24,\,35/288)}$ correspond au triangle de côtés (7/10, 120/7, 1201/70) ; et le point ${\displaystyle 3P=(2738/529,\,57387/12167)}$ correspond au 3^e triangle indiqué par Fermat. Le lien entre recherche des aires de triangles rectangles en nombres (ce qu'on appelle des « nombres congruents ») et courbes elliptiques a été exploré plus systématiquement par J. Tunnell en 1983[21].

La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer est l'un des problèmes du millénaire pour la solution desquels la fondation Clay a promis un million de dollars. Dans le cas des courbes elliptiques, cette conjecture relie des objets analytiques et arithmétiques définis à partir de la courbe considérée.

Du côté analytique, un ingrédient important est la fonction L de Hasse-Weil (d'une variable complexe) de la courbe E sur ℚ. Cette fonction est une variante de la fonction zêta de Riemann ou des fonctions L de Dirichlet. Elle est définie comme un produit eulérien de facteurs, définis pour chaque nombre premier p.

Si ${\displaystyle y^{2}+a_{1}y+a_{3}=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$ est une équation minimale de la courbe elliptique E sur ℚ, à coefficients a_i entiers, l'équation obtenue en réduisant modulo p les coefficients a_i définit en général encore une courbe elliptique, sur le corps fini F_p (sauf pour un nombre fini de p, où la courbe réduite obtenue a une singularité et n'est donc plus elliptique ; on dit que la courbe E a une « mauvaise réduction » en p dans ce cas).

La fonction zêta d'une courbe elliptique sur un corps fini est en quelque sorte une fonction génératrice rassemblant les informations sur le nombre de points de la courbe dans toutes les extensions (finies) du corps de base. Plus précisément[22], ${\displaystyle Z\left({E \over \mathbb {F} _{p}}\right){=}\exp \left(\sum {\mathrm {card} \left(E\left(\mathbb {F} _{p^{n}}\right)\right){T^{n} \over n}}\right).}$

La somme à l'intérieur de l'exponentielle ressemble au développement d'un logarithme et, de fait, la fonction Z ainsi définie est une fonction rationnelle :

${\displaystyle Z\left({E \over \mathbb {F} _{p}}\right){=}{1-a_{p}T+pT^{2} \over 1-T}\left(1-pT\right)}$.

La fonction de Hasse-Weil de la courbe elliptique sur ℚ est alors définie en rassemblant toutes ces informations locales (c'est-à-dire pour chaque nombre premier p). Elle est définie par ${\displaystyle L\left(E/\mathbb {Q} ,s\right){=}\prod _{p}{\left(1-a_{p}p^{-s}+\epsilon (p)p^{1-2s}\right)^{-1}}}$, où ${\displaystyle \epsilon (p)=1}$ si la courbe a bonne réduction en ${\displaystyle p}$ et 0 sinon (dans ces derniers cas, en nombre fini, le terme a_p doit aussi être défini).

Ce produit converge seulement pour ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>{\frac {3}{2}}}$. Mais la conjecture de Helmut Hasse prédisait que la fonction L admet un prolongement analytique à tout le plan complexe et vérifie une équation fonctionnelle liant, pour tout ${\displaystyle s}$, sa valeur en ${\displaystyle s}$ à sa valeur en ${\displaystyle 2-s}$.

La conjecture de Hasse est maintenant (depuis 1999) démontrée comme conséquence de la preuve de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil : cette dernière affirme en effet que toute courbe elliptique définie sur ℚ est modulaire ; donc sa fonction zêta de Hasse-Weil est égale à la fonction L associée à une forme modulaire, pour laquelle le prolongement analytique était déjà connu.

On peut donc parler des valeurs de la fonction L de Hasse-Weil en tout point du plan complexe. La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer lie le comportement au centre de la bande critique (donc en s = 1) à l'arithmétique de la courbe. Elle prévoit en particulier :

Sous sa forme la plus précise, la conjecture prédit aussi la valeur du terme dominant au voisinage de 1, en fonction de diverses quantités liées à la courbe elliptique.

De même que l'hypothèse de Riemann, la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer a de multiples conséquences. En voici deux :

Cet énoncé, dû à Tunnell est lié au fait que n est l'aire d'un triangle rectangle en nombres rationnels si et seulement si la courbe elliptique y² = x³ – n²x a un point rationnel d'ordre infini (donc, sous la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, sa fonction L s'annule en 1). L'intérêt de l'énoncé est que la condition indiquée se vérifie facilement[21].

Dans un tout autre ordre d'idées, certaines méthodes analytiques permettent d'estimer l'ordre d'annulation au centre de la borne critique de familles de fonctions L. Si on admet la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, ces estimations se transposent en informations sur le rang des familles de courbes elliptiques correspondantes. Par exemple[23] :

La conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, encore connue sous le nom de « conjecture modulaire », affirme que toute courbe elliptique sur ℚ est modulaire, c'est-à-dire que sa fonction de Hasse-Weil est la fonction L d'une forme modulaire de poids 2 et de niveau N , où N est le conducteur de la courbe elliptique E (un entier divisible par les mêmes nombres premiers que le discriminant de la courbe).

Autrement dit, si, pour ${\displaystyle \Re (s)>{\frac {3}{2}}}$, on écrit la fonction L sous la forme

${\displaystyle L\left(E/\mathbb {Q} ,s\right)=\sum _{n>0}{a(n)n^{-s}},}$

alors l'expression ${\displaystyle \sum {a(n)q^{n}}}$, avec ${\displaystyle q=e^{2{\rm {i}}\pi z}}$, définit une forme modulaire (parabolique, nouvelle) de poids 2 et de niveau N. Pour les nombres premiers ${\displaystyle l}$ ne divisant pas N, le coefficient ${\displaystyle a(l)}$ de la forme vaut ${\displaystyle l}$ moins le nombre de solutions de l'équation minimale de la courbe réduite modulo ${\displaystyle l}$.

Par exemple[24], à la courbe elliptique ${\displaystyle y^{2}+y=x^{3}-x}$, de discriminant (et de conducteur) 37, est associée la forme ${\displaystyle f(z)=q-2q^{2}-3q^{3}+2q^{4}-2q^{5}+6q^{6}+\cdots }$, avec ${\displaystyle q=\exp(2i\pi z)}$. Pour les nombres premiers ${\displaystyle l}$ distincts de 37, on peut vérifier la propriété sur les coefficients. Ainsi pour ${\displaystyle l=3}$, les solutions de l'équation modulo 3 sont (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), et on a donc bien ${\displaystyle a(3)=3-6=-3}$.

La conjecture qui date du milieu des années 1950 a été finalement démontrée complètement en 1999, à partir des idées d'Andrew Wiles, qui l'avait déjà prouvée en 1994 pour une large famille de courbes elliptiques[25].

Il existe plusieurs formulations de cette conjecture ; prouver leur équivalence n'était pas facile et a fait l'objet de travaux importants dans la seconde moitié du XX^e siècle. Ainsi, la modularité d'une courbe elliptique E de conducteur N s'exprime aussi par le fait qu'il existe un morphisme non constant, défini sur ℚ, de la courbe modulaire ${\displaystyle X_{0}(N)}$ dans ${\displaystyle E}$. En particulier, les points de la courbe peuvent être paramétrés par des fonctions modulaires.

Par exemple, un paramétrage modulaire de la courbe elliptique ${\displaystyle y^{2}+y=x^{3}-x}$ est donné par[24] ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x(z)&=&q^{-2}+2q^{-1}+5+9q+18q^{2}+29q^{3}+\cdots \\y(z)&=&q^{-3}+3q^{-2}+9q^{-1}+21+46q+92q^{2}+\cdots \end{matrix}}\right.}$ avec comme toujours ${\displaystyle q=\exp(2i\pi z).}$ Les fonctions ${\displaystyle x(z)}$ et ${\displaystyle y(z)}$ sont ici modulaires de poids 0 et de niveau 37 ; autrement dit, elles sont méromorphes, définies sur le demi-plan supérieur ${\displaystyle \Im (z)>0}$ et telles que ${\displaystyle x({az+b \over cz+d})=x(z)}$ — et de même pour ${\displaystyle y(z)}$ — pour tous les entiers ${\displaystyle a,b,c,d}$, avec ${\displaystyle ad-bc=1}$ et ${\displaystyle 37|c}$.

Une autre formulation repose sur la comparaison de représentations galoisiennes attachées d'une part aux courbes elliptiques, d'autre part à des formes modulaires, c'est cette dernière formulation qui a été utilisée dans la preuve de la conjecture. La gestion précise du niveau des formes (et leur lien au conducteur de la courbe) est particulièrement délicate.

L'application la plus spectaculaire de la conjecture est la preuve du dernier théorème de Fermat :

La preuve de ce lien entre les deux énoncés, sur une idée de G. Frey de 1985, est difficile et technique, elle n'a été établie par Kenneth Ribet qu'en 1987[26].

On s'intéresse ici aux points P = (x, y) de la courbe E tels que x soit entier[27]. Le théorème suivant est dû à Carl Siegel :

Ce théorème s'étend d'ailleurs aux points dont la coordonnée x a un dénominateur divisible seulement par des nombres premiers appartenant à un ensemble fini, fixé à l'avance.

Il existe des formes effectives de ce théorème. Par exemple[28], si l'équation de Weierstrass de la courbe a des coefficients entiers plus petits qu'une constante H, les coordonnées (x, y) d'un point de la courbe telles que x et y soient entiers vérifient

${\displaystyle \max \left(|x|,|y|\right)<\exp \left((10^{6}H)^{{10}^{6}}\right).}$

Exemple[29] : l'équation ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+17}$ a huit solutions entières avec ${\displaystyle y>0}$ : ${\displaystyle (x,\,y)\in \left\{\,(-2,\,3),\,(-1,\,4),\,(2,\,5),\,(4,\,9),\,(8,\,23),\,(43,\,282),\,(52,\,375),\,(5234,\,378661)\,\right\}.}$

Une grande partie des résultats précédents est encore valable lorsque le corps de définition de la courbe elliptique est un corps de nombres, autrement dit une extension finie du corps des nombres rationnels. En particulier,

Un théorème dû à Loïc Merel montre que pour un entier d donné, il n'existe qu'un nombre fini (à isomorphisme près) de groupes qui peuvent être la partie de torsion du groupe de Mordell-Weil E(K) d'une courbe elliptique E définie sur un corps de nombres K de degré d. Plus précisément[30] :

Le théorème est effectif, par exemple, pour d > 1 ; Merel montre que si un point de torsion est d'ordre p, p étant un nombre premier, on doit avoir :

${\displaystyle p<d^{3d^{2}}.}$

En ce qui concerne les points entiers, on a de même :

Les propriétés de la fonction L de Hasse-Weil et la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer s'étendent également aux corps de nombres.

• Conjecture de torsion
• Courbe cubique
• Courbe d'Edwards
• Fonction elliptique
• Théorème de Nagell-Lutz
• Cryptographie sur les courbes elliptiques

• Pierre Colmez, Le problème des nombres congruents [PDF]
• Marc Joye, Introduction élémentaire à la théorie des courbes elliptiques [PDF]
• Marc Hindry, Les courbes elliptiques racontées à mes enfants. Une conférence, aux tableaux noirs et craies colorées, filmée à l'IREM de Paris 7, le 25 mai 2008.
• (en) 14H52 Elliptic Curves, The Mathematical Atlas