Fonction elliptique de Weierstrass

Soit L un réseau du plan complexe, de base ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\,}$. Par analogie avec l'introduction, on est amené à considérer les fonctions

${\displaystyle \sum _{\lambda \in L}(z-\lambda )^{-k},}$

qui s'écrivent

${\displaystyle \sum _{(m_{1},m_{2})\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }(z-m_{1}\omega _{1}-m_{2}\omega _{2})^{-k}.}$

Si l'entier k vaut au moins 3, elles convergent. Il s'agit d'une convergence uniforme sur tout compact ne rencontrant pas le réseau. Cela résulte d'une série de remarques.

• ${\displaystyle \vert x_{1}\omega _{1}+x_{2}\omega _{2}\vert }$ est une norme sur ℝ².
  Elle est équivalente à ${\displaystyle {\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}\,}$. Il existe donc un ${\displaystyle \alpha >0\,}$ tel que, quels que soient ${\displaystyle m_{1}\,}$ et ${\displaystyle m_{2}\,}$, on ait ${\displaystyle \vert m_{1}\omega _{1}+m_{2}\omega _{2}\vert \geq \alpha {\sqrt {m_{1}^{2}+m_{2}^{2}}}}$.
  Donc tout disque fermé ne contient qu'un nombre fini d'éléments de L.
• On prend z dans le disque fermé ${\displaystyle \vert z\vert \leq R\,}$.

En ce qui concerne la convergence, il suffit de considérer les ${\displaystyle \lambda \,}$ tels que ${\displaystyle \vert \lambda \vert \geq 2R}$ (${\displaystyle \geq R\,}$ suffirait apparemment, il s'agit ici d'une astuce technique).

• Dans ces conditions, ${\displaystyle \vert z+\lambda \vert \geq \vert \lambda \vert -\vert z\vert \geq {\frac {\vert \lambda \vert }{2}}}$. On est donc ramené à la convergence de la série ${\displaystyle \sum _{\lambda \in L\setminus \{0\}}\vert \lambda \vert ^{-k}}$,

qui se ramène elle-même, d'après notre première remarque, à la convergence de la série de Riemann ${\displaystyle \sum _{(m_{1},m_{2})\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{0\}}^{+\infty }(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})^{-k/2}}$.

Cette dernière converge si k > 2.

Pour k = 2, en revanche, cet argument est en défaut. Toujours par analogie avec l'introduction, on introduit la série modifiée

${\displaystyle {\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in L\setminus \{0\}}{\frac {1}{(z+\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\ (1)}$.

La série (1) converge uniformément sur tout compact ne rencontrant pas L. Sa somme est une fonction méromorphe ${\displaystyle \wp \,}$, qui admet des pôles doubles aux points de L. Elle est paire et L-périodique. Elle a été découverte par Weierstrass, d'où son nom de "fonction ${\displaystyle \wp \,}$ de Weierstrass" ou fonction elliptique de Weierstrass.

On se place dans un disque ${\displaystyle \vert z\vert \leq R\,}$, qui ne contient qu'un nombre fini d'éléments de L, qu'on peut enlever à la série sans dommage pour l'étude de sa convergence.

Pour les autres, on a

${\displaystyle (z+\lambda )^{-2}=\lambda ^{-2}(1+{\frac {z}{\lambda }})^{-2}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}-{\frac {2z}{\lambda ^{3}}}+O\left({\frac {1}{\lambda ^{4}}}\right)}$

uniformément par rapport à ${\displaystyle z\in D(0,R)}$. Dans ces conditions, ${\displaystyle \left|{\frac {1}{(z+\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right|\leq C(R)\vert \lambda \vert ^{-3}}$, et l'on est ramené à une question déjà résolue.

D'après ce qui précède et des résultats classiques de dérivation terme à terme,

${\displaystyle \wp ^{\prime }(z)=-2\sum _{\lambda \in L}{\frac {1}{(z+\lambda )^{3}}}}$,

ce qui montre que la fonction ${\displaystyle \wp ^{\prime }\,}$ est impaire et L-périodique. Donc ${\displaystyle \wp }$ est paire. En raison de la périodicité de ${\displaystyle \wp ^{\prime }}$, la fonction ${\displaystyle \wp (z+\omega _{i})-\wp (z)}$ (pour ${\displaystyle i=1}$ ou ${\displaystyle 2}$) est constante, et cette constante vaut ${\displaystyle \wp (\omega _{i}/2)-\wp (-\omega _{i}/2)=0}$ .

La fonction ${\displaystyle \wp }$ vérifie l'équation différentielle

${\displaystyle \wp ^{\prime }(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}.}$

Ici, on a posé (les notations relèvent d'une tradition vénérable)

${\displaystyle g_{2}=60\sum _{\lambda \in L\setminus \{0\}}{\frac {1}{\lambda ^{4}}}\quad {\textrm {et}}\quad g_{3}=140\sum _{\lambda \in L\setminus \{0\}}{\frac {1}{\lambda ^{6}}}.}$

Le principe de la preuve est le suivant. La fonction ${\displaystyle \wp ^{\prime }(z)^{2}-4\wp (z)^{3}+g_{2}\wp (z)+g_{3}}$ est certainement méromorphe et L-périodique. Un argument de développement limité montre qu'elle est nulle à l'origine. Elle est donc holomorphe et bornée, donc constante (et ici identiquement nulle) d'après le théorème de Liouville.

L'application ${\displaystyle z\mapsto {\big (}\wp (z),\wp ^{\prime }(z){\big )}}$ envoie ℂ dans la cubique de ℂ×ℂ d'équation ${\displaystyle y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\,}$. La courbe correspondante E du plan projectif complexe, appelée cubique de Weierstrass est donnée en coordonnées homogènes ${\displaystyle (x,y,t)\,}$ par l'équation ${\displaystyle y^{2}t-4x^{3}+g_{2}xt^{2}+g_{3}t^{3}=0.}$ On a alors une application continue (et même holomorphe à condition de savoir ce qu'est une variété complexe) de ℂ dans E donnée par ${\displaystyle z\mapsto [{\big (}\wp (z),\wp ^{\prime }(z),1{\big )}]}$ qui se prolonge par continuité aux pôles de ${\displaystyle \wp \,}$, qu'elle envoie sur le « point à l'infini » [(0, 1, 0)] de E.

De même que le quotient ℝ/ℤ est homéomorphe au cercle, le quotient ℂ/L est homéomorphe à un tore de dimension 2 ; c'est aussi une surface de Riemann compacte.

On démontre que l'application ${\displaystyle z\mapsto [{\big (}\wp (z),\wp ^{\prime }(z),1{\big )}]}$ vue plus haut définit par passage au quotient un homéomorphisme et une application biholomorphe de ℂ/L dans E.

Le discriminant modulaire Δ est défini comme le quotient par 16 du discriminant du polynôme ${\displaystyle 4x^{3}-g_{2}x-g_{3}}$ qui apparaît dans l'équation différentielle ci-dessus :

${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.}$

La courbe E est lisse, c’est-à-dire sans singularités. Il suffit pour le voir de montrer Δ est non nul. Ce qui est le cas, car ses trois racines sont distinctes. D'après la relation algébrique fondamentale, si ${\displaystyle \wp ^{\prime }(u)=0\,}$, alors ${\displaystyle x=\wp (u)\,}$ est une racine de ce polynôme. Mais la fonction ${\displaystyle \wp ^{\prime }\,}$, impaire et L-périodique, s'annule si ${\displaystyle 2u\in L\,}$, donc pour ${\displaystyle {\frac {\omega _{1}}{2}},{\frac {\omega _{2}}{2}},{\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\,}$. En raison de la bijection entre ℂ/L et E, les nombres ${\displaystyle \wp ({\frac {\omega _{1}}{2}})\,}$, ${\displaystyle \wp ({\frac {\omega _{2}}{2}})\,}$ et ${\displaystyle \wp ({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}})\,}$ sont distincts.

Une structure de groupe additif sur l'ensemble des points d'une telle cubique est décrite dans l'article « Courbe elliptique ». L'élément neutre est le point à l'infini [(0, 1, 0)], et trois points P, Q, R sont alignés si et seulement si P + Q + R = 0. L'application ${\displaystyle z\mapsto [{\big (}\wp (z),\wp ^{\prime }(z),1{\big )}]}$ est un isomorphisme de groupes entre ℂ/L et E.

Les éléments neutres se correspondent. Les points de E correspondant à ${\displaystyle u,v\,}$ et ${\displaystyle -(u+v)\,}$ étant alignés, il s'agit d'une conséquence de la formule d'addition, citée sans preuve :

${\displaystyle \wp (u)+\wp (v)+\wp (u+v)={\frac {1}{4}}\left({\frac {\wp ^{\prime }(u)-\wp ^{\prime }(v)}{\wp (u)-\wp (v)}}\right)^{2}}$

« Structure de groupe sur E » et « structure de groupe sur ℂ/L » sont équivalents : un résultat profond, qui fait appel à la théorie des formes modulaires assure que pour toute cubique lisse ${\displaystyle y^{2}=4x^{3}-ax-b}$, il existe un unique réseau L tel que ${\displaystyle a=g_{2}}$ et ${\displaystyle b=g_{3}}$ (voir le &6 du chapitre XII du livre de Godement cité dans la bibliographie).