Fonction elliptique de Jacobi

On rappelle que l'intégrale elliptique incomplète de première espèce associée au module k est la fonction impaire croissante sur les réels définie par :

${\displaystyle F(a,k)=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}x}}}}$

On remarque que la constante K définie précédemment n'est autre que ${\displaystyle F({\frac {\pi }{2}},k)}$. Elle est appelée intégrale elliptique complète de première espèce.

On appelle fonction amplitude de Jacobi[1] la fonction réciproque de F, notée A :

${\displaystyle u=F(a,k)\iff a=A(u,k)}$

Elle est elle-même impaire et croissante sur les réels, et augmente de π lorsque u augmente de 2K.

On les définit comme suit[1] :

• la fonction sinus de Jacobi : ${\displaystyle {\rm {sn}}(u,k)=\sin(A(u,k))}$. Sur les réels, elle est périodique de période 4K.
• la fonction cosinus de Jacobi : ${\displaystyle {\rm {cn}}(u,k)=\cos(A(u,k))}$. Sur les réels, elle est périodique de période 4K.
• la fonction dn de Jacobi : ${\displaystyle {\rm {dn}}(u,k)={\sqrt {1-k^{2}{\rm {sn}}(u,k)^{2}}}}$. Sur les réels, elle est périodique de période 2K.

sn est une fonction impaire, alors que cn et dn sont paires.

On retrouve les fonctions trigonométriques circulaires et hyperboliques[2] pour les valeurs limites 0 et 1 de k :

• Si k = 0, on retrouve la trigonométrie ordinaire. En effet, ${\displaystyle F(a,0)=a}$, ${\displaystyle A(u)=u}$, ${\displaystyle K={\frac {\pi }{2}}}$ et K' est envoyé à l'infini. sn est le sinus, cn le cosinus et dn la fonction constante 1.
• Si k = 1, on voit apparaître les fonctions de la trigonométrie hyperbolique. En effet, ${\displaystyle u=F(a,1)={\rm {argth}}(\sin(a))}$ de sorte que ${\displaystyle \sin(a)=\tanh(u)}$ (formule de Gudermann), K est envoyé à l'infini et ${\displaystyle K'={\frac {\pi }{2}}}$. sn est la fonction tanh, cn et dn la fonction 1/cosh.

Fonction sn

Fonction cn

Fonction dn

Fonction amplitude A

Représentation des trois fonctions elliptiques de base de Jacobi et de la fonction amplitude, entre -5 et 5, pour diverses valeurs du module. Les cas limites correspondant au module égal à 0 ou 1 sont en vert.

Gudermann (1838), puis Glaisher (1882) introduiront les neuf autres fonctions[3] :

${\displaystyle {\rm {ns}}(u,k)={\frac {1}{{\rm {sn}}(u,k)}}}$, ${\displaystyle {\rm {nc}}(u,k)={\frac {1}{{\rm {cn}}(u,k)}}}$, ${\displaystyle {\rm {nd}}(u,k)={\frac {1}{{\rm {dn}}(u,k)}}}$

${\displaystyle {\rm {sc}}(u,k)={\frac {{\rm {sn}}(u,k)}{{\rm {cn}}(u,k)}}}$, ${\displaystyle {\rm {cs}}(u,k)={\frac {{\rm {cn}}(u,k)}{{\rm {sn}}(u,k)}}}$

${\displaystyle {\rm {sd}}(u,k)={\frac {{\rm {sn}}(u,k)}{{\rm {dn}}(u,k)}}}$, ${\displaystyle {\rm {ds}}(u,k)={\frac {{\rm {dn}}(u,k)}{{\rm {sn}}(u,k)}}}$

${\displaystyle {\rm {cd}}(u,k)={\frac {{\rm {cn}}(u,k)}{{\rm {dn}}(u,k)}}}$, ${\displaystyle {\rm {dc}}(u,k)={\frac {{\rm {dn}}(u,k)}{{\rm {cn}}(u,k)}}}$

On peut définir les fonctions réciproques des fonctions elliptiques de Jacobi, pour x entre -1 et 1[4] :

• ${\displaystyle \mathrm {Arcsn} \,(x,k)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}$
• ${\displaystyle \mathrm {Arccn} \,(x,k)=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}+k^{2}t^{2})}}}}$

Pour les valeurs réelles de la variable[2] :

• pour u = 0, on a ${\displaystyle {\text{sn}}(0)=0,\,{\text{cn}}(0)=1,\,{\text{dn}}(0)=1.}$
• pour u = K/2, on a ${\displaystyle {\text{sn}}\left({\frac {K}{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+k'}}},\,{\text{cn}}\left({\frac {K}{2}}\right)={\sqrt {\frac {k'}{1+k'}}},\,{\text{dn}}\left({\frac {K}{2}}\right)={\sqrt {k'}}.}$
• pour u = K, on a ${\displaystyle {\text{sn}}(K)=1,\,{\text{cn}}(K)=0,\,{\text{dn}}(K)=k'}$

Les dérivées des fonctions de base sont[5] :

${\displaystyle A'(u)={\text{dn}}(u)}$

${\displaystyle {\text{sn}}'(u)={\text{cn}}(u){\text{dn}}(u)}$

${\displaystyle {\text{cn}}'(u)=-{\text{sn}}(u){\text{dn}}(u)}$

${\displaystyle {\text{dn}}'(u)=-k^{2}{\text{sn}}(u){\text{cn}}(u)}$

On dispose des relations suivantes[6] :

• ${\displaystyle {\text{sn}}(u+K)={\frac {{\text{cn}}(u)}{{\text{dn}}(u)}}\,}$
• ${\displaystyle {\text{cn}}(u+K)=-k'{\frac {{\text{sn}}(u)}{{\text{dn}}(u)}}}$
• ${\displaystyle {\text{dn}}(u+K)={\frac {k'}{{\text{dn}}(u)}}\,}$
• ${\displaystyle {\text{sn}}(u+2K)=-{\text{sn}}(u)}$
• ${\displaystyle {\text{cn}}(u+2K)=-{\text{cn}}(u)}$
• ${\displaystyle {\text{dn}}(u+2K)={\text{dn}}(u)}$

On dispose des formules d'addition suivantes, généralisant les formules d'addition trigonométriques[5] :

• ${\displaystyle {\text{sn}}(u+v)={\frac {{\text{sn}}(u){\text{cn}}(v){\text{dn}}(v)+{\text{sn}}(v){\text{cn}}(u){\text{dn}}(u)}{1-k^{2}{\text{sn}}^{2}(u){\text{sn}}^{2}(v)}}}$
• ${\displaystyle {\text{cn}}(u+v)={\frac {{\text{cn}}(u){\text{cn}}(v)-{\text{sn}}(u){\text{dn}}(u){\text{sn}}(v){\text{dn}}(v)}{1-k^{2}{\text{sn}}^{2}(u){\text{sn}}^{2}(v)}}}$
• ${\displaystyle {\text{dn}}(u+v)={\frac {{\text{dn}}(u){\text{dn}}(v)-k^{2}{\text{sn}}(u){\text{cn}}(u){\text{sn}}(v){\text{cn}}(v)}{1-k^{2}{\text{sn}}^{2}(u){\text{sn}}^{2}(v)}}}$

• ${\displaystyle {\text{sn}}^{2}(u)+{\text{cn}}^{2}(u)=1\,}$
• ${\displaystyle k^{2}{\text{sn}}^{2}(u)+{\text{dn}}^{2}(u)=1\,}$
• ${\displaystyle k^{2}{\text{cn}}^{2}(u)+k'^{2}={\text{dn}}^{2}(u)\,}$ avec ${\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}}$ le complément du module k.
• ${\displaystyle {\text{cn}}^{2}(u)+k'^{2}{\text{sn}}^{2}(u)={\text{dn}}^{2}(u)\,}$

• ${\displaystyle {\text{sn}}^{2}(u)={\frac {1-{\text{cn}}(2u)}{1+{\text{dn}}(2u)}}}$
• ${\displaystyle {\text{cn}}^{2}(u)={\frac {{\text{dn}}(2u)+{\text{cn}}(2u)}{1+{\text{dn}}(2u)}}}$
• ${\displaystyle {\text{dn}}^{2}(u)={\frac {{\text{dn}}(2u)+{\text{cn}}(2u)}{1+{\text{cn}}(2u)}}}$

Les règles de dérivation des fonctions de Jacobi permettent de montrer que sn, cn et dn sont respectivement solutions des équations différentielles suivantes[7] :

• sn : ${\displaystyle {\ddot {x}}+(1+k^{2})x-2k^{2}x^{3}=0}$
• cn : ${\displaystyle {\ddot {x}}+(1-2k^{2})x+2k^{2}x^{3}=0}$
• dn : ${\displaystyle {\ddot {x}}-(2-k^{2})x+2x^{3}=0}$

Schéma du pendule simple.

On considère un pendule simple, de longueur l, oscillant dans un champ de pesanteur g. Soit θ l'angle qu'il forme avec la verticale descendante, et θ₀ son amplitude maximale. θ vérifie l'équation du mouvement suivante (provenant de la conservation de l'énergie mécanique du pendule) :

${\displaystyle {{\dot {\theta }}^{2}}=2{\frac {g}{l}}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}$

La solution de cette équation qui s'annule au temps t = 0 vérifie :

${\displaystyle \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)=\sin \left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\,\mathrm {sn} (\omega _{0}t,k)}$

où l'on a donné au module de la fonction de Jacobi la valeur ${\displaystyle k=\sin \left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)}$, et où ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {g}{l}}}}$ est la pulsation du pendule simple pour les petites amplitudes.

La période du pendule est ${\displaystyle T={\frac {4K(k)}{\omega _{0}}}}$. La fonction amplitude ${\displaystyle A(\omega _{0}t,k)}$ croît avec t, et joue le rôle d'« échelle de temps » adaptée au problème : à chaque période de temps réel du pendule, l'amplitude aura augmenté de 2π. L'anisochronicité du mouvement est patente, puisque la période du pendule dépend du module k, donc de θ₀.

Pour les petites oscillations, k est très petit, de sorte que la fonction sn est assimilable au sinus. En approximant le sinus de θ par θ et en faisant de même pour θ₀, on retrouve la formule classique ${\displaystyle \theta =\theta _{0}\sin(\omega _{0}t)}$.

Quand θ₀ tend vers π, k tend vers 1 et K(k) tend vers l'infini comme ${\displaystyle \ln \left({\frac {4}{\sqrt {1-k^{2}}}}\right)}$. Si T₀ est la période ${\displaystyle {\frac {2\pi }{\omega _{0}}}}$ du pendule simple pour les petites oscillations, alors, la période du pendule devient :

${\displaystyle T=T_{0}\,{\frac {2}{\pi }}\ln \left({\frac {8}{\pi -\theta _{0}}}\right)}$.

Quand la limite est atteinte, sn est égale à la fonction tanh. On a alors :

${\displaystyle \theta =2\arcsin(\tanh(\omega _{0}t))=4\arctan(\exp(\omega _{0}t))-\pi }$

qui tend vers π quand t tend vers l'infini.

Pendule tournoyant (dans le sens inverse au sens trigonométrique). La courbe paramétrée en haut de l'image représente le mouvement du pendule dans l'espace des phases : ${\displaystyle \theta }$ en abscisse (proportionnelle à la fonction amplitude A de Jacobi), l'axe étant orienté vers la gauche, et ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ en ordonnée (proportionnelle à la fonction de Jacobi périodique dn).

Dans le cas d'un pendule animé d'une vitesse suffisamment grande pour le faire tournoyer, l'équation du mouvement s'écrit :

${\displaystyle {\dot {\theta }}^{2}={\frac {2g}{l^{2}}}[H-l+l\cos(\theta )]}$

où H est une constante homogène à une longueur et strictement supérieure à 2l. La solution θ s'exprime alors à l'aide de la fonction amplitude de Jacobi sous la forme :

${\displaystyle \theta =2A\left({\sqrt {\frac {Hg}{2l^{2}}}}\,t,k\right)}$

où l'on donne au module de la fonction de Jacobi la valeur ${\displaystyle k={\sqrt {\frac {2l}{H}}}}$.

Ce mouvement est celui d'un solide en rotation, pris relativement à son centre d'inertie G, quand le moment par rapport à G des forces extérieures est nul. Pour un solide quelconque sans symétrie particulière, les équations du mouvement se résolvent à l'aide des fonctions elliptiques de Jacobi. En particulier, les trois composantes du vecteur de rotation instantanée dans le référentiel lié au solide constitué des axes principaux d'inertie sont proportionnelles respectivement à cn, sn, dn[8].

La fonction ${\displaystyle \xi$ :(x,t)\to \mathrm {cn} ^{2}(B(x-ct))} permet de modéliser la surélévation de la surface de l'eau au passage d'un soliton, tel qu'un tsunami par exemple, où, à changement d'unité près, ξ est la hauteur de la vague, x est l'abscisse où l'on mesure cette hauteur, t est le temps, et B un paramètre prenant en compte la profondeur du milieu. C'est en effet une des solutions de l'équation de Korteweg-de Vries. L'onde ainsi modélisée s'appelle onde cnoïdale.

La fonction sn intervient pour modéliser la déplétion de la pompe dans le mélange à trois ondes optiques[9], qui est utilisé dans les Oscillateurs paramétriques optiques.

• M. Abramowitz, I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, 1972 (lire en ligne), chapitre 16, par L. M. Milne-Thomson.
• Hermann Laurent, Théorie élémentaire des fonctions elliptiques, Gauthier-Villars, Paris, 1880 (lire en ligne)
• Alfred George Greenhill, Les fonctions elliptiques et leurs applications, G. Carré, Paris, 1895 (lire en ligne)
• Paul Appell, Émile Lacour, Principes de la théorie des fonctions elliptiques et applications, Gauthier-Villars et fils, Paris, 1897 (lire en ligne)

• W. P. Reinhardt, P. L. Walker, « Jacobian Elliptic Functions ». Parmi les nombreuses propriétés des fonctions elliptiques de Jacobi que ce site donne, on trouvera en particulier au chapitre 22.20 des méthodes de calcul numérique rapide de ces fonctions.