Équation de Korteweg-de Vries

C'est une équation aux dérivées partielles non linéaire et dispersive pour une fonction φ de deux variables réelles, x et t :

${\displaystyle \partial _{t}\varphi +\partial _{x}^{3}\varphi +6\varphi \partial _{x}\varphi =0}$

où ∂_x et ∂_t représentent les dérivées partielles par rapport à x et t.

Une vague scélérate est une vague océanique très haute, modélisable comme solution particulière d’équations non linéaires, telles que l’équation de l’onde de Boussinesq ou l’équation de Korteweg-de Vries.

Il existe de nombreuses variantes à l'équation d'onde KdV. En particulier, on peut lister les équations suivantes.

Nom	Équation
Korteweg–de Vries (KdV)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}\varphi +\partial _{x}^{3}\varphi +6\,\varphi \,\partial _{x}\varphi =0}$
KdV (cylindrique)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-6\,u\,\partial _{x}u+u/2t=0}$
KdV (déformée)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}(\partial _{x}^{2}u-2\,\eta \,u^{3}-3\,u\,(\partial _{x}u)^{2}/2(\eta +u^{2}))=0}$
KdV (généralisée)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u=\partial _{x}^{5}u}$
Équation de Korteweg-de Vries généralisée (en)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u+\partial _{x}f(u)=0}$
Équation de Korteweg-de Vries (7e ordre de Lax)	${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}u+\partial _{x}&\left\{35u^{4}+70\left(u^{2}\partial _{x}^{2}u+u\left(\partial _{x}u\right)^{2}\right)\right.\\&\left.\quad +7\left[2u\partial _{x}^{4}u+3\left(\partial _{x}^{2}u\right)^{2}+4\partial _{x}\partial _{x}^{3}u\right]+\partial _{x}^{6}u\right\}=0\end{aligned}}}$
Équation modifiée de Korteweg-de Vries	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u\pm 6\,u^{2}\,\partial _{x}u=0}$
KdV (modifiée modifiée)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-(\partial _{x}u)^{3}/8+(\partial _{x}u)(A\mathrm {e} ^{au}+B+C\mathrm {e} ^{-au})=0}$
KdV (sphérique)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-6\,u\,\partial _{x}u+u/t=0}$
Super équation de Korteweg-de Vries	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u=6\,u\,\partial _{x}u-\partial _{x}^{3}u+3\,w\,\partial _{x}^{2}w}$, ${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}w=3\,(\partial _{x}u)\,w+6\,u\,\partial _{x}w-4\,\partial _{x}^{3}w}$
KdV (de transition)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u-6\,f(t)\,u\,\partial _{x}u=0}$
KdV (à coefficients variables)	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\beta \,t^{n}\,\partial _{x}^{3}u+\alpha \,t^{n}u\,\partial _{x}u=0}$
Équation de Korteweg-de Vries-Burgers	${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}u+\mu \,\partial _{x}^{3}u+2\,u\,\partial _{x}u-\nu \,\partial _{x}^{2}u=0}$

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Korteweg–de Vries equation » (voir la liste des auteurs).