Vague

Mer gaufrée. Pointe des Baleines, île de Ré, France

La réflexion se produit sur un ouvrage de hauteur immergée importante par rapport à la profondeur et de largeur importante par rapport à la longueur d'onde.

Lorsque des vagues arrivent parallèlement à une digue verticale il se produit une réflexion totale, phénomène d'onde stationnaire. Sur la paroi et à des distances proportionnelles à la demi-longueur d'onde on observe des ventres où l'amplitude est le double de l'amplitude incidente. Entre deux ventres successifs il y a un nœud où l'agitation semble disparaître.

Devant une digue à talus se produit une réflexion partielle avec des ventres dont l'amplitude est inférieure au double de l'amplitude incidente tandis que les nœuds n'ont plus une amplitude nulle.

Si les vagues arrivent obliquement la superposition de ondes incidentes et réfléchies produit une mer gaufrée.

Les phénomènes se compliquent au voisinage d'un obstacle de dimensions relativement petites vis-à-vis des longueurs d'onde, comme un navire, ou de l'extrémité d'une jetée.

Face à un obstacle, l'approximation de l'optique géométrique décrit le comportement de la lumière aux échelles supérieures aux longueurs d'onde, ce qui fait apparaître une zone d'ombre derrière l'obstacle. Les obstacles rencontrés par les vagues ayant toujours des dimensions de l'ordre des longueurs d'onde, il faut faire appel à la notion de diffraction selon laquelle il se produit toujours une agitation dans l'ombre géométrique.

La diminution de la célérité avec la profondeur conduit à des phénomènes de réfraction qui s'interprètent simplement en remarquant que la longueur d'onde varie proportionnellement à la célérité. Un élément de crête arrivant obliquement par rapport aux isobathes (lignes d'égale profondeur) possède une extrémité qui se trouve sur une profondeur inférieure à celle de l'autre extrémité. Les longueurs d'onde étant différentes la crête bascule de manière à se rapprocher de la direction de l'isobathe. De manière imagée on dit que les hauts fonds freinent les vagues.

Sur une plage, les crêtes se rapprochent donc de la ligne de rivage jusqu'à ce que la profondeur soit assez faible pour que s'amorce le déferlement. Sur une pointe il y a concentration des orthogonales (analogues aux rayons lumineux), donc augmentation de l'agitation et une atténuation liée à l'épanouissement dans une baie. Le contournement d'un îlot peut créer dans l'« ombre géométrique » une augmentation de l'agitation par superposition des vagues provenant des deux côtés.

Les courants modifient aussi la vitesse de phase et la relation de dispersion. Ils induisent donc aussi une réfraction.

Domaine de validité des théories approchées pour les vagues régulières, en fonction de la profondeur h, hauteur de la vague H, période temporelle de la vague τ et pesanteur g.

Une vague périodique est caractérisée par

• la profondeur ${\displaystyle h}$,
• la hauteur de crête à creux ${\displaystyle H}$ ou l'amplitude ${\displaystyle a}$ qui est la moitié de celle-ci,
• et la longueur d'onde ${\displaystyle \lambda }$ ou le nombre d'onde ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$.

En nombres sans dimension elle est caractérisée par

• la cambrure ${\displaystyle H/\lambda }$ ou le produit ${\displaystyle ka}$
• et la profondeur relative ${\displaystyle h/\lambda }$ ou le produit ${\displaystyle kh/2\pi }$.

Cette description correspond à une modélisation grossière qui ignore les irrégularités des vagues de la nature et leur aspect tridimensionnel. Elle suppose également une profondeur constante bien qu'elle en fournisse en de nombreuses circonstances une approximation raisonnable.

Elle relève du problème le plus simple de la mécanique des fluides qui ignore la viscosité, la compressibilité, l'existence de tourbillons (écoulement irrotationnel d'un fluide incompressible et parfait). Dans ces conditions la description eulérienne classique du champ des vitesses se réduit à la recherche d'un potentiel harmonique. Le caractère non-linéaire de la condition à la surface libre interdit néanmoins la recherche de solutions simples rencontrées dans d'autres problèmes physiques.

Plusieurs types d'approximations sont utilisés.

• Les équations de Boussinesq sont utilisables pour des ondes de faible amplitude.
• Les approximations de Stokes conviennent pour des profondeurs relativement importantes par rapport à la longueur d'onde.
• Les équations de Barré de Saint-Venant sont adaptées à des faibles profondeurs où l'on peut faire l'hypothèse de l'équilibre hydrostatique.
• Les approximations utilisant la fonction de courant sont formellement identiques aux approximations de Stokes mais obtenues par une méthode de moindres carrés au lieu d'un développement limité. Le calcul numérique permet de satisfaire presque exactement la condition dynamique (l'erreur tolérée peut être aussi petite que souhaitée) et exactement toutes les autres conditions, quelle que soit la profondeur[8].

Le diagramme décrit dans un plan (profondeur relative/cambrure) le domaine de validité de différentes approximations de type développement limité borné par la cambrure limite au-delà de laquelle la vague déferle. Plus précisément la profondeur et la hauteur sont rapportées à la longueur d'onde en profondeur infinie multipliée par ${\displaystyle 2\pi }$.

Une solution naturelle consiste à exprimer le potentiel et, par suite, les différentes grandeurs par des développements limités en fonction du paramètre ${\displaystyle ka\,}$, c'est-à-dire de la cambrure supposé petite.

En ne retenant que le premier terme du développement on obtient un modèle linéaire pour les champs de vitesse et pression, connu sous le nom de vague d'Airy, qui n'est donc valable en principe que pour les vagues de cambrure infiniment petite, tous les termes supprimés étant alors des infiniment petits d'ordres supérieurs, donc négligeables. Il présente deux caractéristiques :

• La surface libre est sinusoïdale.
• Les trajectoires des particules fluides sont elliptiques.

Pour des raisons de simplicité, la vague d'Airy est souvent utilisée au-delà de son domaine de validité théorique. Son caractère linéaire permet de superposer les solutions, et de constituer ainsi un état de mer assez réaliste sous la forme d'une somme de vagues de différentes périodes et directions.

Dès que la cambrure n'est pas très petite il peut être préférable, au prix de calculs plus laborieux, d'utiliser des modèles de vagues d'amplitude finie obtenus en ajoutant des corrections d'ordres supérieurs. Ils améliorent le réalisme en ce qui concerne les deux points précédents.

• À mesure que les ordres d'approximation s'élèvent la surface libre présente de crêtes de plus en plus pointues et des creux de plus en plus aplatis. L'approximation du cinquième ordre est généralement jugée assez réaliste pour la description des vagues régulières, sauf quand la vague s'approche de la cambrure maximale.

• Un terme de dérive proportionnel au carré de l'amplitude déforme les trajectoires elliptiques du premier ordre pour donner naissance à des trajectoires qui ressemblent vaguement à des cycloïdes allongées. Une méthode élégante ([9]) permet de déterminer cette dérive en corrigeant le champ de vitesses d'Euler par un calcul dans les coordonnées de Lagrange. Néanmoins la cohérence du développement limité exige que cette correction soit considérée comme un terme du deuxième ordre négligeable au premier ordre (pour une description élémentaire du mécanisme général de dérive, voir Dérive d'un navire amarré).

mouvement et dérive des particules en faible profondeur

Le développement limité de Stokes perd de sa signification lorsque la profondeur relative devient inférieure à 1/8 environ. Dans ces conditions on observe des crêtes très pointues séparées par des creux très étendus. Ce phénomène est pris en compte par le modèle de la vague cnoïdale qui tend vers deux limites :

• La vague d'Airy lorsque la hauteur est petite par rapport à la profondeur.
• L'onde solitaire lorsque la longueur d'onde est grande par rapport à la profondeur. L'onde qui se situe alors entièrement au-dessus du niveau de repos ne présente plus de périodicité.

Le modèle cnoïdal n'est cependant pas adapté aux vagues de fortes cambrures.

La méthode utilisée est un peu analogue à celle des approximations de Stokes avec deux différences. La fonction de courant remplace le potentiel et il ne s'agit plus d'un développement limité classique qui néglige les termes d'ordres supérieurs. Une fois choisi le degré de l'approximation, les coefficients sont déterminés en minimisant l'erreur au sens de la méthode des moindres carrés.

Cette méthode développée par Dean puis Dalrymple (1974) peut fournir des approximations meilleures que celles qui précèdent. On peut ainsi retrouver la forme de la vague de cambrure maximale, qui présente une crête pointue formant un angle de 120°.

Le mouvement des vagues peut être considéré comme irrotationnel, il dérive donc d'un potentiel. Comme l'eau est pratiquement incompressible, ce potentiel satisfait l'équation de Laplace. Pour les longueurs d'onde supérieures à 30 cm, la tension superficielle peut être négligée, et les solutions périodiques de faible amplitude (ondes d'Airy) obéissent à une relation de dispersion :

${\displaystyle {\omega }^{2}=g\,k\,\tanh(k\,h)}$,

avec

• ${\displaystyle \omega =2\pi /T}$ la pulsation de l'onde,
• ${\displaystyle T}$ la période de la houle,
• ${\displaystyle g}$ l'intensité de la pesanteur,
• ${\displaystyle k=2\pi /L}$ le nombre d'onde,
• ${\displaystyle L}$ la longueur d'onde de la houle,
• ${\displaystyle h}$ la profondeur de l'eau.

Cette relation donne la célérité de propagation de l'onde :

${\displaystyle c={\frac {\omega }{k}}={\sqrt {{\frac {g}{k}}\tanh(k\,h)}}}$

Pour des vagues régulières, cette relation est correcte à 10 % près en eau profonde, et l'erreur peut atteindre 30 % en eau peu profonde. En effet la célérité augmente aussi avec l'amplitude des vagues.

On constate que la vitesse des vagues augmente avec la période : les vagues se dispersent, sauf dans la limite des faibles profondeurs. Ainsi les trains de vagues les plus longs générés par une tempête arrivent avant les vagues plus courtes. Pour les grandes profondeurs (au-delà de la moitié de la longueur d'onde), la vitesse des vagues ne dépend plus de la profondeur puisque la tangente hyperbolique tend vers 1.

La relation de dispersion permet aussi de comprendre le comportement des vagues à l'approche du littoral. Quand la profondeur diminue spatialement, la période reste constante. Les formules ci-dessus entraînent l'augmentation du nombre d'onde, donc la diminution de la longueur d'onde et de la célérité.

Pour simplifier, dans le cas de l'eau profonde :

• célérité (vitesse de propagation ou vitesse de phase) en m/s : ${\displaystyle c=1,25{\sqrt {L}}}$ ;
• période (temps qui sépare deux crêtes) : ${\displaystyle T\approx 0,8{\sqrt {L}}}$ ;
• longueur d'onde : ${\displaystyle L\approx 1,6T^{2}}$.

La vitesse de groupe ${\displaystyle C_{g}\,}$, vitesse du transport d'énergie varie de façon plus complexe. En partant de l'eau profonde ${\displaystyle C_{g}\,}$ augmente de 20 % environ avant de décroître elle aussi. Par grands fonds ${\displaystyle C_{g}=C/2}$. Ainsi les vagues vont plus vite que les groupes : elles prennent naissance à l'arrière du groupe, le dépassent et meurent à l'avant du groupe. Par petits fonds ${\displaystyle C_{g}=C}$, et les vagues ne sont plus dispersives.

La quantité d'énergie mécanique par unité de surface de la mer (on parle de densité spatiale de l'énergie) est, en moyenne sur la période des vagues, égale à ${\displaystyle E_{t}=\rho ga^{2}/2\,}$, dans le cas des vagues d'Airy. Cette densité s'exprime en joules par mètre carré, et c'est la somme de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique. Lorsque les vagues se propagent frontalement vers la côte, le flux d'énergie par unité de longueur de crête est ${\displaystyle C_{g}E_{t}}$. Sans dissipation d'énergie et sans courants, ce flux est constant. Des vagues qui se propagent vers la côte voient donc leur hauteur ${\displaystyle 2a\,}$ diminuer de 10 % environ avant d'augmenter jusqu'à ce qu'elle finissent par déferler, lorsque la vitesse des particules d'eau atteint la vitesse de phase de la vague qui les supporte.

Les vagues sont aussi associées à une dérive. Sur l'ensemble de la colonne d'eau cette dérive donne un débit de masse égal à ${\displaystyle E_{t}/C\,}$, qui s'exprime en kilogrammes par mètre. Ce débit est la quantité de mouvement du champ de vagues. La mise en place de ce débit, lors de la propagation, nécessite un flux de quantité de mouvement: ainsi les vagues transportent la quantité de mouvement depuis la région où le vent les a généré, jusqu'aux côtes où cette quantité de mouvement est transmise au courant littoral.

Une vague formée par un ferry

Dans la théorie d'Airy, les particules de fluide décrivent des ellipses presque fermées, dont la taille décroît avec la profondeur. En eau profonde (profondeur supérieure à la moitié de la longueur d'onde) ces ellipses sont des cercles.

Le fait que les ellipses ne soient pas tout à fait fermées est une manifestation de la dérive de Stokes. Près de la surface libre, la vitesse d'une particule d'eau est plus importante sous une crête que la vitesse opposée lors du passage du creux suivant. Il en résulte une dérive dans le sens de propagation des vagues qui peut s'inverser en profondeur. Pour les vagues générées par le vent, cette dérive est d'environ 1,5 % de la vitesse du vent pour un état de mer complètement développé et en eau profonde.

Pour une vague prise individuellement, l'approximation d'Airy est particulièrement bien vérifiée dans le cas de la houle constituée par des vagues peu cambrées se propageant au large et soumises à peu de vent. À mesure que la cambrure augmente, elle devient de plus en plus imprécise mais est néanmoins souvent utilisée à cause de sa simplicité. Pour certains problèmes qui demandent une grande précision, l'amplitude des ondes peut nécessiter approximation supérieure est utilisée.

L'approximation d'Airy, devient très imparfaite dans les faibles profondeurs et doit être remplacée par exemple par l'approximation cnoïdale. Elle est également imparfaite dans une zone de déferlements, que ce soit dans la zone de génération de la mer du vent ou sur des hauts fonds.

Enfin, pour des états de mer réels (irréguliers), on peut obtenir les caractéristiques des vagues en superposant un grand nombre de houles d'Airy. Là aussi, on peut être amené à utiliser des corrections non-linéaires pour retrouver des creux plus plats que les crêtes (correction de Creamer par exemple).

Les premières données chiffrées sur l'agitation en mer ont été le résultat d'observations visuelles. L'observateur annonçait au bout de quelques minutes une hauteur de vagues, appelée hauteur significative, et, plus rarement, une période moyenne.

Ces observations ont d'abord été effectuées pour bâtir des statistiques relatives à des sites donnés. Elles ont ensuite été systématisées sur des navires, les résultats étant alors regroupés par zones géographiques.

La mise au point de houlographes associés à des enregistreurs sur papier a montré l'évolution de la surface libre au cours d'un enregistrement. Ceci a permis d'élaborer un histogramme des hauteurs de vagues. Il s'est alors avéré que la moyenne du tiers des hauteurs les plus fortes était proche de la hauteur significative annoncée par un observateur entraîné, ce qui constitue une définition plus rationnelle.

L'informatique a été à l'origine de progrès spectaculaires grâce à l'utilisation d'enregistrements échantillonnés.

Le calcul de l'écart type des échantillons, appelé moyenne quadratique en matière de signaux, montre qu'il est proche du quart de la hauteur significative définie précédemment, ce qui conduit à une nouvelle définition dénuée d'ambiguïté.

L'histogramme des échantillons ressemble plus ou moins à un histogramme normal ou histogramme de Gauss. C'est conforme au théorème central limite car il s'agit de la somme d'un grand nombre de termes plus ou moins indépendants. C'est particulièrement bien vérifié avec une houle peu cambrée. Dans la mer du vent les vagues cambrées présentent une dissymétrie des crêtes et des creux analogue à celle qui a été évoquée à propos des vagues régulières. Comme dans de nombreux domaines cette distorsion est négligée compte tenu de l'efficacité de la loi de Gauss.

L'analyse spectrale regroupe diverses méthodes de représentation d'un signal par une somme de sinusoïdes.

Le développement en série de Fourier représente un signal périodique par une somme de sinusoïdes d'amplitudes finies dont les fréquences sont les multiples de l'inverse de la période. Les descriptions de Stokes des vagues régulières sont constituées par les premiers termes de tels développements.

La transformation de Fourier permet de décrire un signal transitoire. L'idée consiste à effectuer un développement en série de Fourier d'un morceau quelconque du signal dont on fait tendre la longueur vers l'infini. Les fréquences des composantes se rapprochent indéfiniment tandis que leurs amplitudes tendent vers zéro. En multipliant par la longueur d'analyse on obtient pour chaque fréquence un résultat fini appelé densité d'amplitude. Bien qu'il s'agisse de notions physiques sans rapports, le couple amplitude/densité d'amplitude est formellement de même nature que le couple charge concentrée/charge répartie de la flexion (matériau).

Cette dernière technique est en principe applicable à l'enregistrement d'une tempête en mer qui possède un début et une fin assez bien identifiés. Malheureusement l'information obtenue à la suite de calculs importants est difficile à interpréter. Il est préférable d'utiliser une méthode un peu plus abstraite, également rencontrée en vibrations, qui fournit à moindre frais des informations plus utilisables.

L'idée consiste à remplacer le très long enregistrement par une séquence d'enregistrements disjoints, par exemple d'une vingtaine de minutes toutes les trois heures.

La succession d'enregistrements donne une idée raisonnable sur l'évolution de la tempête (ou de tout autre état de mer) tandis que chacun d'eux est supposé assez long pour fournir une information statistiquement significative mais assez court pour que le niveau d'agitation n'ait pas trop évolué. L'enregistrement est ainsi considéré comme une partie d'un signal qui n'évolue pas au cours d'un temps infini. Ces considérations assez floues sont précisées par la notion de processus stationnaire.

De toute façon, la seule information certaine sur le phénomène réside dans l'enregistrement. Elle peut être traduite dans le domaine des fréquences en utilisant la transformée de Fourier de l'enregistrement complété par des zéros aux époques où le phénomène n'a pas été enregistré. Si on a des raisons de croire que le signal était effectivement nul en dehors de l'enregistrement la transformation de Fourier le traduit parfaitement. S'il est du type transitoire avec de l'information perdue la densité d'amplitude en donne la meilleure approximation. Dans le cas des vagues cette approximation n'a plus aucun sens mais une analyse plus approfondie montre que la représentation correcte utilise la densité spectrale qui se déduit de la densité d'amplitude.

L'erreur attachée à la perte de l'information située hors de l'enregistrement se traduit par un filtre qui réorganise en fonction de la fréquence aussi bien la densité spectrale que la densité d'amplitude. Dans le cas des vagues s'ajoute une incertitude liée au fait que deux enregistrements de même longueur effectués à des époques différentes ne donnent pas exactement le même résultat.

Lorsqu'une vague excite un système mécanique linéaire (par exemple un navire) la densité spectrale de sa réponse (par exemple le tangage du navire) se déduit de la densité spectrale de l'excitation par l'intermédiaire de la fonction de transfert du système.

Si l'excitation est considérée comme une réalisation d'un processus de Gauss la réponse du système linéaire possède la même propriété. Dans ces conditions la densité spectrale permet d'estimer la distribution des amplitudes de crêtes, la période moyenne de passage au zéro, la période moyenne de crête, etc.

Il est ainsi possible à partir d'une élévation du niveau de la mer de réaliser une transformée de Fourier discrète afin d'obtenir un spectre.

Extrait d'une élévation du niveau de la mer

Un spectre de ce type peut être associée à l'énergie de la mer. Les pics présents représentent donc des pics d'énergie auxquels on peut associer des phénomènes physiques. Par exemple les vagues associées à la houle vont avoir des longueurs d'onde plus élevées, donc des fréquences plus faibles que les vagues associées au vent local mais vont être moins énergétiques. Ceci s'interprète sur le spectre par la présence d'un pic de houle ayant moins d'amplitude que celui du vent local.

Exemple de spectre

Il est également possible de tracer un spectre dans le plan de Fourier, Kx et Ky représentant les deux nombres d'ondes associés aux mouvements selon l'axe x (ici, l'Est) et l'axe y (ici, le Nord).

Spectre 2D

Un spectre de ce type permet d'obtenir le même type d'information que le spectre précédant mais diffère dans sa lecture.

Les points ou bandes rouges qui y sont représentées indiquent des niveaux d'énergie mais aussi leur direction de propagation. Ainsi dans notre cas le paquet d'énergie (point rouge) le plus intense et le plus concentré, caractéristique de la houle, arrive du Nord-Ouest tandis que le paquet plus étalé, caractéristique du vent local, arrive du Nord-Est. Pour connaître la longueur d'onde caractéristique de ces phénomènes, il suffit de mesurer le rayon entre le centre de l'image et le centre du paquet d'énergie. On obtient alors le nombre d'onde duquel il est facile de tirer la longueur d'onde. Par exemple on mesure ici pour la houle un rayon k = 0.03m-1 correspondant à une longueur d'onde λ=210 m.

La densité spectrale suffit pour décrire une houle épurée par son trajet qui possède des crêtes quasi-rectilignes. Dans la zone de génération on observe des vagues à courtes crêtes. Celles-ci peuvent être décrites comme des sommes de vagues sinusoïdales qui diffèrent non seulement par leurs fréquences mais aussi par leurs directions, ce qui conduit à la notion de densité spectro-angulaire.

Une vague déferlante est un phénomène hydrodynamique non linéaire, non stationnaire qui dépend de la pente du fond et de la nature de la houle au large[12]. Trois modèles théoriques principaux permettent d'estimer la force d'une vague déferlante : le choc par coup de bélier, le choc ventilé et le choc par compression[12].

Certaines équations permettent d'estimer la force de l'action des vagues dans des cas particuliers. Par exemple, la méthode de Minikin pour la force maximale d'une vague sur un mur vertical[13].

Les forces exercées par la houle sur des structures immergées est un problème complexe d'hydrodynamique. Les calculs nécessitent des études statistiques de la houle, ils doivent prendre en compte les différents aspects des forces dont la traînée, les effets cumulatifs des vagues, les effets de la diffraction de la houle par les structures fixes, etc[14].

• Onde de Stokes
• État de la mer
• Fetch
• Houle
• Lame
• Tempête
• Onde de tempête
• Dérive d'un navire amarré
• Déferlement
  • Déferlante
• Vagues particulières :
  • Vague scélérate
  • Tsunami

• Houle, vagues et littoral sur le site du Service hydrographique et océanographique de la marine
• Vagues régulières
  • Dérive et turbulence près de la surface sur le site du SHOM
  • [PDF] Water Wave Mechanics
• Déferlement
  • Évolution des vagues en zone côtière sur le site du SHOM
  • [PDF] Wave Breaking
• [PDF] Article téléchargeable sur les vagues - B. Schaeffer, Association Technique Maritime et Aéronautique, session 1988, Paris n^o 2078

• Lacombe H (1959) Cours de dynamique des mers:(circulation générale houles et vagues). Service central hydrographique, École d'application.
• Munk W (1950), Origin and generation of waves" ; Proceedings of the first conference on coastal engineering, The engineering Foundation ed., Berkeley, octobre 1950.