Équations de Boussinesq

Les équations de Boussinesq en mécanique des fluides désignent un système d'équations d'ondes obtenu par approximation des équations d'Euler pour des écoulements incompressibles irrotationnels à surface libre. Elles permettent de prévoir les ondes de gravité comme ondes cnoïdales, ondes de Stokes, houle, tsunamis, solitons, etc. Ces équations ont été introduites par Joseph Boussinesq en 1872[1] et sont un exemple d'équations aux dérivées partielles dispersives.

Ondes de gravité à l'entrée d'un port (milieu à profondeur variable).

Équations d'Euler pour un fluide incompressible irrotationnel soumis à un champ de gravité

Pour un écoulement incompressible irrotationnel la vitesse dérive d'un potentiel ψ. Les équations d'incompressibilité et de quantité de mouvement s'écrivent

\nabla ^{2}\psi =0

\rho {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\rho \,(\nabla \psi )^{2}+p+\rho gz=0

où ρ est la masse volumique, p la pression, g la gravité et z l'altitude.

Démonstration

On montre[2] que pour un écoulement incompressible irrotationnel la vitesse dérive d'un potentiel ψ

\mathbf {V} =\nabla \psi

En reportant dans l'équation d'incompressibilité $\textstyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} =0$ on voit que ψ obéit à l'équation de Laplace

\nabla ^{2}\psi =0

L'équation de quantité de mouvement s'écrit alors

\rho {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial t}}+\rho \nabla V\,\mathbf {V} +\mathbf {\nabla } p-\rho \,\mathbf {g} =0

Par ailleurs la gravité g dérive d'un potentiel

\mathbf {g} =-\nabla \phi

À l'échelle du problème on peut considérer g constant et écrire

\phi =\phi _{0}+gz

En remarquant que $\nabla V\,\mathbf {V} =\nabla \left({\frac {V^{2}}{2}}\right)$ on obtient

\nabla \left(\rho {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\rho V^{2}+p+\rho \phi \right)=0

Soit, en intégrant la constante d'intégration dans Φ₀

\rho {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\rho \,(\nabla \psi )^{2}+p+\rho gz=0

L'équation de quantité de mouvement contient des cas particuliers intéressants :

milieu homogène ψ = 0 conduit à l'équilibre hydrostatique,
milieu stationnaire $\textstyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=0$ conduit à l'équation de Bernoulli.

Par la suite on supposera la vitesse assez faible pour négliger l'énergie cinétique. On obtient ainsi l'expression de la pression

p=-\rho {\frac {\partial \psi }{\partial t}}-\rho gz

Milieu à surface libre

Examinons un problème bidimensionnel. On désigne par s(x) l'altitude de la surface par rapport à sa valeur au repos z = 0.

Outre l'équation de continuité on peut écrire une seconde équation à la surface en dérivant la pression. Compte tenu d'une approximation de faible amplitude de l'onde, cette relation est appliquée en z = 0.

\left.\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}+g{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\right)\right|_{z=0}=0

Elle constitue une condition aux limites dynamique.

Démonstration

La surface est définie par z = s. Elle vérifie

V_{z}(s,t)=\left.{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\right|_{z=s}={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial s}{\partial t}}+V_{x}{\frac {\partial s}{\partial x}}\simeq {\frac {\partial s}{\partial t}}

l'approximation impliquant des ondes de faible amplitude.

La pression à la surface p₀ vérifie

p_{0}=-\rho \left.{\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right|_{z=s}-\rho gs

soit en dérivant en temps

\left.{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}\right|_{z=s}+g{\frac {\partial s}{\partial t}}=0

En utilisant l'équation définie plus haut pour la surface il vient

{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}+g{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0

Cette équation est valide sur la surface z = s. Compte tenu de l'hypothèse de faible amplitude des ondes on l'appliquera en z = 0.

À ce système il faut adjoindre une condition aux limites au fond si celui-ci existe ou lorsque $\textstyle z\rightarrow -\infty$ sinon.

La solution est cherchée sous forme d'ondes d'amplitude A en surface de pulsation ω et de nombre d'onde k

\psi (x,z,t)=B(z)\,\mathrm {e} ^{j(kx-\omega t)}

s(x,t)=A\,\mathrm {e} ^{j(kx-\omega t)}

On examine ci-après deux cas particuliers qui éclairent le problème.

Milieu infiniment profond

Trajectoires d'une particule fluide. A pour un milieu infiniment profond, B pour une eau peu profonde.

La solution de l'équation de Laplace est ici une exponentielle décroissante[3]

\psi =-{\frac {jgA}{\omega }}e^{kz}e^{j(kx-\omega t)}

l'équation en z = 0 donne la relation de dispersion

\omega ={\sqrt {gk}}

La vitesse de phase $\textstyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\sqrt {\frac {g}{k}}}$ est le double de la vitesse de groupe $\textstyle v_{g}={\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} k}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {g}{k}}}$ : le milieu est dispersif.

En intégrant une première fois ψ on obtient les composantes verticale et horizontale de la vitesse. Une nouvelle intégration donne alors les composantes de la particule fluide qui vérifient

\left({\frac {x-a}{A\mathrm {e} ^{kb}}}\right)^{2}+\left({\frac {z-b}{A\mathrm {e} ^{kb}}}\right)^{2}=1

a et b < 0 sont des constantes d'intégration arbitraires.

Cette équation décrit un cercle centré en (a,b) dont le rayon Ae^kb diminue exponentiellement avec la profondeur b (voir figure).

Démonstration

À partir du potentiel on exprime les composantes de la vitesse

V_{x}={\frac {Akg}{\omega }}\mathrm {e} ^{kz}\mathrm {e} ^{j(kx-\omega t)}

V_{z}=-j{\frac {Akg}{\omega }}\mathrm {e} ^{kz}\mathrm {e} ^{j(kx-\omega t)}

En intégrant à nouveau en tenant compte de la relation de dispersion on obtient les trajectoires

x=a+A\mathrm {e} ^{kb}\sin {(\omega t-kx)}

z=b+A\mathrm {e} ^{kb}\cos {(\omega t-kx)}

En réarrangeant les termes et en sommant les carrés des deux expressions il vient

\left({\frac {x-a}{A\mathrm {e} ^{kb}}}\right)^{2}+\left({\frac {z-b}{A\mathrm {e} ^{kb}}}\right)^{2}=1

Fond plat

Pour un fond situé à l'altitude z = -h la solution de l'équation de Laplace est[3]

\psi =-{\frac {jgA}{\omega \cosh {(kh)}}}\cosh {[k(h+z)]}\mathrm {e} ^{j(kx-\omega t)}

et la relation de dispersion

\omega ^{2}=gk\tanh {(kh)}

Dans la limite d'une eau peu profonde devant la longueur d'onde on a

kh<<1\quad \Rightarrow \quad \tanh {(kh)}\simeq kh

d'où

\omega =k{\sqrt {gh}}

qui décrit une propagation avec la vitesse $c={\sqrt {gh}}$ : le milieu est non dispersif.

Dans ce cas les trajectoires des particules fluides sont des ellipses (voir figure) dont le rapport des deux demi-axes est $\textstyle \tanh {[k(b+h)]}$ : avec la profondeur le mouvement devient rapidement un mouvement de va-et-vient à altitude quasi constante.

Démonstration

À partir du potentiel on exprime les composantes de la vitesse

V_{x}={\frac {Akg}{\omega \cosh {(kh)}}}\cosh {[k(h+z)]}\mathrm {e} ^{j(kx-\omega t)}

V_{z}=-j{\frac {Akg}{\omega \sinh {(kh)}}}\cosh {[k(h+z)]}\mathrm {e} ^{j(kx-\omega t)}

En intégrant à nouveau en tenant compte de la relation de dispersion on obtient les trajectoires

x=a-{\frac {A\cosh {[k(h+b)]}\sin {(\omega t-kx)}}{kh\cosh {(kh)}}}

z=b+{\frac {A\sinh {[k(h+b)]}\cos {(\omega t-kx)}}{kh\cosh {(kh)}}}

En réarrangeant les termes et en sommant les carrés des deux expressions il vient

\left({\frac {x-a}{B\cosh {[k(h+b)]}}}\right)^{2}+\left({\frac {z-b}{B\sinh {[k(h+b)]}}}\right)^{2}=1\,,\qquad B={\frac {A}{kh\cosh {(kh)}}}

On notera que ce système correspond à un milieu dans lequel l'équilibre hydrostatique est vérifié, au moins au premier ordre. Il est décrit par les équations de Barré de Saint-Venant.

Dérive de Stokes

Dérive de Stokes (houle en milieu profond).

Dérive de Stokes (ondes cnoïdales en faible profondeur).

On a linéarisé la condition limite en surface en la ramenant à z = 0. En réalité, il existe une vitesse de dérive de Stokes qui est une faible vitesse moyenne des particules fluides parallèlement à la surface (voir figures). Sa valeur peut être estimé à partir de considérations très générales[4]

V_{S}={\frac {1}{cT}}\int _{0}^{T}|\nabla \psi |^{2}\mathrm {d} t

où T est la période de rotation de la particule fluide.

Dans le cas du milieu infiniment profond

V_{S}={\frac {kgA^{2}}{c}}e^{-2kb}

La dérive varie comme le carré de l'amplitude et l'inverse de la longueur d'onde. Elle diminue rapidement avec la profondeur.

Démonstration

Une onde plane se déplaçant avec la vitesse c est décrite par l'équation

{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+c\,\nabla \psi =0

Soit x(t) la position d'une particule de fluide. Elle obéit à l'équation lagrangienne

{\frac {D\mathbf {x} }{Dt}}=\mathbf {V} =\nabla \psi

d'où

{\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\frac {D\psi }{Dt}}-\mathbf {V} \cdot \nabla \psi =-c\,{\frac {D\mathbf {x} }{Dt}}

Au final

c\,{\frac {D\mathbf {x} }{Dt}}=-{\frac {D\psi }{Dt}}+\nabla \psi \cdot \nabla \psi

En intégrant sur une durée égale à la période T on obtient le déplacement

c\left[\mathbf {x} (t+T)-\mathbf {x} (t)\right]=-\psi (\mathbf {x} ,t+T)+\psi (\mathbf {x} ,t)+\int _{0}^{T}|\nabla \psi (\mathbf {x} (t))|^{2}\,\mathrm {d} t

Propagation

Dans le cas général l'onde est décrite par

s(x,t)=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{j(kx-\omega t)}F(k)\mathrm {d} k

où F représente la condition initiale. L'intégration est complexe car ω dépend de k et la fonction à intégrer est infiniment oscillante[5].

Démonstration

La solution du système linéaire en ψ s'obtient comme une intégrale de Fourier[6]

s(x,t)=\int _{-\infty }^{+\infty }\left[\mathrm {e} ^{j(kx-\omega t)}F_{+}(k)+\mathrm {e} ^{j(kx+\omega t)}F_{-}(k)\right]\mathrm {d} k

Les fonctions F_± étant fixées par les conditions initiales sur s et sa dérivée temporelle (rappelons que ω dépend de k)

s(x,0)=\int _{-\infty }^{+\infty }\left[F_{+}(k)+F_{-}(k)\right]\mathrm {e} ^{jkx}\mathrm {d} k

\left.{\frac {\partial s(x)}{\partial t}}\right|_{t=0}=-j\int _{-\infty }^{+\infty }\left[F_{+}(k)-F_{-}(k)\right]\omega \mathrm {e} ^{jkx}\mathrm {d} k

Si l'on prend s(x,0) = s₀(x) et une dérivée temporelle nulle alors $F_{+}=F_{-}\equiv F$ et

s_{0}(x)=2\int _{-\infty }^{+\infty }F\mathrm {e} ^{jkx}\mathrm {d} k\qquad \Rightarrow \qquad F(k)={\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }s_{0}\mathrm {e} ^{-jkx}\mathrm {d} x

s(x,t)=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{j(kx-\omega t)}F(k)\mathrm {d} k

Onde d'Airy.

On peut cependant trouver des solutions à partir d'une approximation de ω obtenue en développant la tangente hyperbolique. Pour k petit

\omega =kc_{0}\,{\sqrt {1-{\frac {1}{3}}(kh)^{2}}}\simeq kc_{0}-\gamma k^{3}\,,\quad c_{0}={\sqrt {gh}}\,,\quad \gamma ={\frac {h^{2}c_{0}}{6}}

Alors, en utilisant la méthode de la phase stationnaire[3] pour $x\simeq c_{0}t$

s(x,t)=F(k=0)\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{j[k(x-c_{0}t)+\gamma k^{3}t]}\mathrm {d} k

La solution est une fonction d'Airy définie par

\mathrm {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{j(sz+{\frac {1}{3}}s^{3})}\mathrm {d} s={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos {(sz+{\frac {1}{3}}s^{3})}\mathrm {d} s

et donc en prenant $\textstyle s=k\alpha \,,\quad z={\frac {x-c_{0}t}{\alpha }}\,,\quad \alpha =\left(3\gamma t\right)^{\frac {1}{3}}$ il vient

s(x,t)={\frac {2\pi F(0)}{\alpha }}\mathrm {Ai} \left({\frac {x-c_{0}t}{\alpha }}\right)

L'onde est formée par un front se propageant avec la vitesse de groupe, suivi d'ondes dont l'amplitude décroît comme $\textstyle (-z)^{\frac {1}{4}}$

Références

J. Boussinesq, « Théorie des ondes et des remous qui se propagent le long d'un canal rectangulaire horizontal, en communiquant au liquide contenu dans ce canal des vitesses sensiblement pareilles de la surface au fond », Journal de mathématiques pures et appliquées, vol. 17,‎ 1872, p. 55-108 (lire en ligne)
(en) Lev Davidovitch Landau et Evgueni Mikhaïlovitch Lifshitz, Volume 6 of Course of Theoretical Physics : Fluid Mechanics, Pergamon Press, 1987 http://users-phys.au.dk/srf/hydro/landau+lifschitz.pdf
Michel Talon, « Ondes de surface », sur LPTHE Université Paris VI, 2006
G. Roullet, « Ondes dans les fluides géophysiques », sur Université de Brest, 2012
(en) G. B. Whitham, Linear and Nonlinear Waves, John Wiley & Sons, 1974, 636 p. (ISBN 978-0-471-35942-5, lire en ligne)
« Transformation de Fourier », sur INSA Toulouse

(en) Graham W. Griffiths et William E. Schiesser, « Linear and Nonlinear Waves », sur Scholarpedia

Voir aussi

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