Équations de Barré de Saint-Venant

Équations de base

Les équations d'Euler s'écrivent

• Équation d'incompressibilité pour le vecteur vitesse V = (u,v,w)

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} =0}$

• Équation de bilan de la quantité de mouvement

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {V} }{Dt}}={\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \left(\mathbf {V} \mathbf {V} \right)=-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } p+\mathbf {g} }$

où ρ est la masse volumique constante, p la pression et g la gravité.

Conditions aux limites

Les altitudes sont comptées par rapport au géoïde.

Les conditions aux limites sont

• sur le plancher z = -b(x,y) la vitesse est nulle

${\displaystyle \mathbf {V} \cdot \nabla (z+b)=0=w+\mathbf {V} \cdot \nabla b}$

• sur la surface z = s(x,y) la pression est la pression externe p₀ et la vitesse normale w est liée à s par

${\displaystyle {\frac {Ds}{Dt}}={\frac {\partial s}{\partial t}}+\mathbf {V} \cdot \nabla s=w}$

Conservation de la masse

On introduit la hauteur d'eau H = s - b et les vitesses moyennes

${\displaystyle {\overline {u}}={\frac {1}{H}}\int _{-b}^{s}u\mathrm {d} z\,,\;\;\;{\overline {v}}={\frac {1}{H}}\int _{-b}^{s}v\mathrm {d} z}$

En intégrant l'équation de continuité en z et en utilisant la règle de Leibniz on a

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}0&=&\int _{-b}^{s}\nabla \cdot \mathbf {V} \mathrm {d} z\\[0.6em]&=&\int _{-b}^{s}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}\right)\mathrm {d} z\\[0.6em]&=&{\frac {\partial }{\partial x}}\underbrace {\int _{-b}^{s}u\mathrm {d} z} _{H{\overline {u}}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\underbrace {\int _{-b}^{s}v\mathrm {d} z} _{H{\overline {v}}}\underbrace {-\left.u\right|_{z=s}{\frac {\partial z}{\partial x}}-\left.v\right|_{z=s}{\frac {\partial z}{\partial y}}+\left.w\right|_{z=s}} _{w-\mathbf {V} \cdot \nabla s={\frac {\partial s}{\partial t}}={\frac {\partial H}{\partial t}}}-\underbrace {\left(\left.u\right|_{z=-b}{\frac {\partial b}{\partial x}}+\left.v\right|_{z=-b}{\frac {\partial b}{\partial y}}+\left.w\right|_{z=-b}\right)} _{w+\mathbf {V} \cdot \nabla b=0}\end{array}}}$

On obtient ainsi une nouvelle équation de conservation de la masse

${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}(H{\overline {u}})+{\frac {\partial }{\partial y}}(H{\overline {v}})=0}$

Si de plus on suppose u et v indépendants de z cette équation devient

${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}(Hu)+{\frac {\partial }{\partial y}}(Hv)=0}$

Conservation de la quantité de mouvement

Suivant la verticale

Par hypothèse, w est très petit devant u et v. La composante verticale de l'équation de quantité de mouvement s'écrit, en négligeant les dérivées de u en x et de v en y

${\displaystyle {\frac {Dw}{Dt}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}+g\,,\;\;\;\;\;g<0}$

En négligeant la dérivée lagrangienne de w l'équation de quantité de mouvement en z se réduit à l'équilibre hydrostatique

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial z}}=\rho g}$

dont la solution est immédiate (g est supposé constant sur la hauteur considérée)

${\displaystyle p=\rho g(z-s)+p_{0}}$

d'où

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}}=-\rho g{\frac {\partial s}{\partial x}}\,,\;\;\;\;\;{\frac {\partial p}{\partial y}}=-\rho g{\frac {\partial s}{\partial y}}}$

Suivant l'horizontale

En négligeant les dérivées en z de u et v et en tenant compte des équations ci-dessus les composantes de l'équation de quantité de mouvement s'écrivent

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}+g{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}+g{\frac {\partial s}{\partial y}}=0}$