Similitude (mécanique des fluides)

Prenons l'exemple d'une sphère de rayon r (dimension L) se déplaçant à la vitesse V (dimension L T⁻¹) dans un fluide incompressible de masse volumique ρ (dimension M L⁻³) et de viscosité dynamique μ (dimension M L⁻¹ T⁻¹). Elle est soumise à la force de traînée F (dimension M L T⁻²). L'état du système est donné par une relation entre toutes ces quantités :

${\displaystyle f(r,V,\rho ,\mu ,F)=0}$

On a fait un choix a priori sur les variables dont dépend F. On en fait un second en choisissant une dépendance sous la forme d'un produit de puissances. On a alors l'identité :

${\displaystyle r^{\alpha }V^{\beta }\rho ^{\gamma }\mu ^{\delta }F^{\varepsilon }:=0}$

L'homogénéité dimensionnelle va donner trois relations pour L, T et M :

pour L  :	${\displaystyle \alpha +\beta -3\gamma -\delta +\varepsilon =0}$
pour t  :	${\displaystyle \beta +\delta +2\varepsilon =0}$
pour M  :	${\displaystyle \gamma +\delta +\varepsilon =0}$

Appliquons le théorème de Vaschy-Buckingham. Nous avons 3 équations pour 5 inconnues : il existe donc deux degrés de liberté dans notre système. L'expression décrivant le système peut donc se réduire à

${\displaystyle f(\Pi _{1},\Pi _{2})=0}$

où Π₁ et Π₂ sont deux quantités sans dimension.

Pour aller plus loin dans l'analyse il faut choisir deux des coefficients. Cela ne peut se faire qu'en anticipant le résultat espéré. On choisit :

• pour Π₁ : δ = 0 et ε = 1 , alors

${\displaystyle \Pi _{1}={\frac {F}{\rho V^{2}r^{2}}}={\frac {\pi }{2}}C_{A}}$

où C_A est le coefficient de traînée.

• pour Π₂ : δ = 1 et ε = 0 , alors

${\displaystyle \Pi _{2}={\frac {\mu }{\rho Vr}}={\frac {1}{Re}}}$

où Re est le nombre de Reynolds formé avec r.

On en déduit que l'on peut écrire le coefficient de traînée comme une simple loi C_A = f ( Re ). On rappelle que pour l'écoulement de Stokes cette expression s'écrit

${\displaystyle C_{A}={\frac {24}{Re}}}$

Examinons le cas des équations de Navier-Stokes pour un milieu incompressible comprenant :

• l'équation d'incompressibilité

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} =0}$

• l'équation de bilan de la quantité de mouvement

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \left(\mathbf {V} \mathbf {V} \right)=-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {V} +\mathbf {g} }$

où ν désigne la viscosité cinématique du fluide et g le champ de forces extérieures volumique supposé constant, par exemple un champ d'accélération.

On définit :

• une longueur de référence L^* caractéristique du problème traité,
• une vitesse de référence V^*, par exemple issue de la condition aux limites,
• une accélération de référence g^*, par exemple la pesanteur.

À partir de ces valeurs on déduit les variables réduites :

- espace	${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}={\frac {\mathbf {x} }{L^{*}}}}$
- temps	${\displaystyle {\tilde {t}}={\frac {V^{*}}{L^{*}}}\,t}$
- vitesse	${\displaystyle {\tilde {\mathbf {V} }}={\frac {\mathbf {V} }{V^{*}}}}$
- pression	${\displaystyle {\tilde {p}}={\frac {p}{\rho {V^{*}}^{2}}}}$
- accélération	${\displaystyle {\tilde {g}}={\frac {g}{g^{*}}}}$

Le système en variables réduites s'écrit :

${\displaystyle \mathbf {\nabla } _{\tilde {x}}\cdot {\tilde {\mathbf {V} }}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\mathbf {V} }}}{\partial {\tilde {t}}}}+\mathbf {\nabla } _{\tilde {x}}\cdot \left({\tilde {\mathbf {V} }}{\tilde {\mathbf {V} }}\right)=-\mathbf {\nabla } {\tilde {p}}+{\frac {1}{Re}}\nabla _{\tilde {x}}^{2}\,{\tilde {\mathbf {V} }}+{\frac {1}{Fr}}{\tilde {g}}}$

${\displaystyle \mathbf {\nabla } _{\tilde {x}}=L^{*}\mathbf {\nabla } }$ est l'opérateur nabla adimensionné.

Il apparaît les coefficients adimensionnels :

- le nombre de Froude	${\displaystyle Fr={\frac {{V^{*}}^{2}}{g^{*}L^{*}}}}$
- le nombre de Reynolds	${\displaystyle Re={\frac {V^{*}L^{*}}{\nu }}}$

On remarque que ce choix n'est pas unique : en multipliant la seconde équation par Re on obtient une dépendance en Re et en un nouveau nombre sans dimension Re / Fr.