Problème de Riemann

On considère un système de lois de conservation (ici pour simplifier en dimension un) :

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {u} (t,x)+{\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {f} (\mathbf {u} (t,x))=0,\qquad (t,x)\in \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} ,}$

où ${\displaystyle \mathbf {u} \colon \mathbb {\mathbb {R} } _{+}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{m}}$ est l'inconnue et ${\displaystyle \mathbf {f} \colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}}$ est donnée. On ajoute à ce système une condition initiale :

${\displaystyle \mathbf {u} (t=0,x)=\mathbf {g} (x),\qquad x\in \mathbb {R} ,}$

où ${\displaystyle \mathbf {g} \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{m}}$ est donnée.

Si la fonction g est constante par morceaux, c'est-à-dire qu'il existe ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$, ainsi que ${\displaystyle (\mathbf {g} _{G},\mathbf {g} _{D})\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{m}}$ tels que

${\displaystyle \mathbf {g} (x)={\begin{cases}\mathbf {g} _{G},&x<x_{0},\\\mathbf {g} _{D},&x>x_{0},\end{cases}}\qquad x\in \mathbb {R} ,}$

alors on dit que le système d'équations ci-dessus avec g pour condition initiale est un problème de Riemann.

Le cas de la dynamique linéaire est particulier au sens où le problème est résoluble directement à l'aide de la méthode des caractéristiques.

Par exemple, pour une loi de conservation linéaire

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}u(t,x)+c{\frac {\partial }{\partial x}}u(t,x)=0,\qquad (t,x)\in \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} ,}$

où ${\displaystyle u\colon \mathbb {\mathbb {R} } _{+}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ est l'inconnue scalaire et ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ un paramètre, alors la solution est une propagation de la condition initiale ${\displaystyle g(x)=u(t=0,x)}$ à la vitesse c, sans déformation :

${\displaystyle u(t,x)=g(x-ct).}$

La situation est similaire pour un système de lois de conservation linéaires hyperboliques

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {u} (t,x)+A{\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {u} (t,x)=0,\qquad (t,x)\in \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} ,}$

où ${\displaystyle \mathbf {\mathbf {u} } \colon \mathbb {\mathbb {R} } _{+}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{m}}$ est l'inconnue et A une matrice diagonalisable à valeurs propres réelles. Nous donnons un exemple simple inspiré de la dynamique des gaz (en) :

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho _{0}{\frac {\partial u}{\partial x}}=0,{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {a^{2}}{\rho _{0}}}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}=0,}$

avec une condition initiale constituée de deux états :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{G}\\u_{G}\end{bmatrix}}{\text{ si }}x\leq 0,\qquad {\text{et}}\qquad {\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{D}\\-u_{D}\end{bmatrix}}{\text{ si }}x>0.}$

Le système précédent peut se réécrire sous forme conservative ${\displaystyle \partial _{t}\mathbf {u} +A\partial _{x}\mathbf {u} =0}$ avec:

${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}},\quad A={\begin{bmatrix}0&\rho _{0}\\{\frac {a^{2}}{\rho _{0}}}&0\end{bmatrix}}.}$

Les valeurs propres du système sont ses caractéristiques : ${\displaystyle \lambda _{1}=-a,\lambda _{2}=a}$. Les vecteurs propres sont

${\displaystyle \mathbf {e} ^{(1)}={\begin{bmatrix}\rho _{0}\\-a\end{bmatrix}},\quad \mathbf {e} ^{(2)}={\begin{bmatrix}\rho _{0}\\a\end{bmatrix}}.}$

L'état gauche ${\displaystyle \mathbf {u} _{G}}$ se décompose sur la base des vecteurs propres par

${\displaystyle \mathbf {u} _{G}={\begin{bmatrix}\rho _{G}\\u_{G}\end{bmatrix}}=\alpha _{1}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\-a\end{bmatrix}}+\alpha _{2}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\a\end{bmatrix}},}$

où les coefficients ${\displaystyle \alpha _{1}}$ et ${\displaystyle \alpha _{2}}$ se calculent par identification :

${\displaystyle \alpha _{1}={\frac {a\rho _{G}-\rho _{0}u_{G}}{2a\rho _{0}}}\ ,\ \alpha _{2}={\frac {a\rho _{G}+\rho _{0}u_{G}}{2a\rho _{0}}}}$

L'état droite ${\displaystyle \mathbf {u} _{D}}$ se décompose de façon similaire

${\displaystyle \mathbf {u} _{D}={\begin{bmatrix}\rho _{D}\\u_{D}\end{bmatrix}}=\beta _{1}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\-a\end{bmatrix}}+\beta _{2}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\a\end{bmatrix}},}$

avec les coefficients

${\displaystyle \beta _{1}={\frac {a\rho _{D}-\rho _{0}u_{D}}{2a\rho _{0}}}\ ,\ \beta _{2}={\frac {a\rho _{D}+\rho _{0}u_{D}}{2a\rho _{0}}}}$

Le système peut ainsi se réécrire comme deux équations découplées scalaires telles que traitées précédemment, la première avec vitesse de propagation c= - a et condition initiale ${\displaystyle \alpha _{1}{\text{ si }}x\leq 0,\ \beta _{1}{\text{ si }}x>0}$, et la seconde avec vitesse de propagation c=a et condition initiale ${\displaystyle \alpha _{2}{\text{ si }}x\leq 0,\ \beta _{2}{\text{ si }}x>0}$.

Ainsi, nous obtenons la solution finale

${\displaystyle \mathbf {u} (t,x)={\begin{bmatrix}\rho (t,x)\\u(t,x)\end{bmatrix}}={\begin{cases}\mathbf {u} _{G},&0<t\leq -ax\\\mathbf {u} ^{*},&0\leq a|x|<t\\\mathbf {u} _{D},&0<t\leq ax\end{cases}}}$

où la solution dans le domaine compris entre les caractéristiques est définie par

${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}={\begin{bmatrix}\rho ^{*}\\u^{*}\end{bmatrix}}=\beta _{1}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\-a\end{bmatrix}}+\alpha _{2}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\a\end{bmatrix}}.}$

Cet exemple permet de comprendre les propriétés basiques du problème de Riemann, et en particulier la décomposition de la solution en différents domaines de l'espace-temps déterminés par les caractéristiques.

On considère ici qu'on a affaire avec une équation scalaire et non un système (ici m=1), ce qui permet d'assurer une théorie d'existence et d'unicité de solutions faibles non régulières (en particulier acceptant des discontinuités) : les solutions entropiques. On considère donc

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}u(t,x)+{\frac {\partial }{\partial x}}f(u)(t,x)=0,\qquad (t,x)\in \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} ,}$

où ${\displaystyle u\colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ est l'inconnue et ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ est donnée. On suppose pour simplifier que f est de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ et uniformément convexe, ce qui garantit la monotonie de la dérivée de f. Par exemple, ${\displaystyle f(u)=u^{2}/2}$ correspond à l'équation de Burgers sans viscosité.

Afin d'avoir un problème de Riemann, on considère la condition initiale (ici ${\displaystyle x_{0}=0}$)

${\displaystyle u(t=0,x)={\begin{cases}u_{G},&x<0,\\u_{D},&x>0,\end{cases}}\qquad x\in \mathbb {R} ,}$

avec ${\displaystyle (u_{G},u_{D})\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ donnés.

Contrairement au cas linéaire, la méthode des caractéristiques ne permet de définir de manière unique la solution que sur une partie de l'espace-temps ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} }$, et il reste à déterminer la solution dans les cas où les caractéristiques liées aux deux valeurs de la condition initiale se croisent, ou au contraire ne remplissent pas tout l'espace-temps.

• Si ${\displaystyle u_{D}<u_{G}}$, cela correspond au cas où les caractéristiques se croisent. L'unique solution entropique est alors de type choc, donnée par

${\displaystyle u(t,x)={\begin{cases}u_{G},&x/t<\sigma ,\\u_{D},&x/t>\sigma ,\end{cases}}\qquad (x,t)\in \mathbb {R} _{+}^{*}\times \mathbb {R} ,}$

où σ est la vitesse de propagation du choc donnée par les relations de Rankine-Hugoniot :

${\displaystyle \sigma ={\frac {f(u_{G})-f(u_{D})}{u_{G}-u_{D}}}.}$

• Si ${\displaystyle u_{D}>u_{G}}$, cela correspond au cas où les caractéristiques ne remplissent pas tout l'espace-temps. L'unique solution entropique est de type onde de détente, donnée par

${\displaystyle u(t,x)={\begin{cases}u_{G},&x/t<f^{\prime }(u_{G}),\\g(x/t),&f^{\prime }(u_{G})<x/t<f^{\prime }(u_{D}),\\u_{D},&x/t>f^{\prime }(u_{D}),\end{cases}}\qquad (x,t)\in \mathbb {R} _{+}^{*}\times \mathbb {R} ,}$

où ${\displaystyle g=(f^{\prime })^{-1}}$, la réciproque de la dérivée de f.

Dans les deux cas, la solution est autosimilaire, c'est-à-dire qu'elle est déterminée uniquement par le rapport ${\displaystyle x/t\in \mathbb {R} }$.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Riemann problem » (voir la liste des auteurs).

• (en) Eleuterio F. Toro, Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Berlin, Springer Verlag, 1999
• (en) Randall J. LeVeque, Finite-Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge, Cambridge University Press, 2004
• (en) Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998
• Jean-François Coulombel, « Equations hyperboliques non-linéaires », sur le serveur de cours en ligne C.E.L.

• Mécanique des fluides numérique
• Magnétohydrodynamique
• Solveur de Riemann (en)
• Équation de Burgers
• Invariant de Riemann