Équation aux dérivées partielles hyperbolique

Une équation aux dérivées partielles est hyperbolique en un point P si le problème de Cauchy est uniquement résoluble dans un voisinage de P pour toute donnée initiale fixée sur une hypersurface non caractéristique contenant P[1].

L'équation des ondes :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}\Delta u=0}$

est un problème hyperbolique, quelle que soit la dimension.

Par un changement linéaire de variables, toute équation de la forme

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}=F(u_{x},u_{y},u)\,}$

avec F une fonction régulière et A,B,C des coefficients réels vérifiant:

${\displaystyle B^{2}-AC>0\,}$

peut être transformée en équation des ondes, aux termes d'ordres inférieurs près qui ne sont pas représentatifs de la nature de l'équation[2]. Cette définition est à rapprocher de celle de la conique hyperbole.

Ce genre de problèmes hyperboliques du second ordre peuvent se transformer en un système hyperbolique d'équations différentielles du premier ordre[3] tels que ceux considérés dans la suite de cet article.

Soit le système suivant de s équations aux dérivées partielles du premier ordre pour s fonctions inconnues ${\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},\ldots ,u_{s})}$, ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {u}}({\vec {x}},t)}$, avec ${\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle (*)\quad {\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\vec {f^{j}}}({\vec {u}})=0,}$

avec ${\displaystyle {\vec {f^{j}}}\in C^{1}(\mathbb {R} ^{s},\mathbb {R} ^{s}),j=1,\ldots ,d}$ sont des fonctions continûment dérivables, non linéaires en général.

On pose ensuite pour chaque ${\displaystyle {\vec {f^{j}}}}$ la matrice jacobienne ${\displaystyle s\times s}$

${\displaystyle A^{j}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{s}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{s}}}\end{pmatrix}},{\text{ pour }}j=1,\ldots ,d}$.

Ainsi, le système ${\displaystyle (*)}$ se réécrit :

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}A^{j}\cdot {\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial x_{j}}}=0}$.

Ce système est dit hyperbolique si pour tout ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}\in \mathbb {R} }$, la matrice ${\displaystyle A:=\alpha _{1}A^{1}+\cdots +\alpha _{d}A^{d}}$ a des valeurs propres réelles et est diagonalisable.

Si la matrice A a des valeurs propres réelles deux à deux distinctes, elle est alors diagonalisable, et on parle alors de système strictement hyperbolique.

Il y a un lien fort entre les problèmes hyperboliques et les équations de conservation. Considérons un problème hyperbolique scalaire (s=1) pour la fonction ${\displaystyle u=u({\vec {x}},t)}$. On a alors

${\displaystyle (**)\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{f^{j}}(u)=0,}$

L'inconnue u peut être une quantité ayant un flux ${\displaystyle {\vec {f}}=(f^{1},\ldots ,f^{d})}$. Pour montrer que cette quantité est conservée, on intègre sur un domaine ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial t}}\,d\Omega +\int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {f}}(u)\,d\Omega =0.}$

Si u et ${\displaystyle {\vec {f}}}$ sont des fonctions assez régulières, le théorème d'Ostrogradski s'applique et on obtient alors une loi de conservation pour u qui s'écrit sous la forme :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }u\,d\Omega +\int _{\partial \Omega }{\vec {f}}(u)\cdot {\vec {n}}\,d\Gamma =0.}$

Cette équation de bilan indique que la variation dans le volume de référence (premier terme dans l'équation) est égale à la quantité entrant ou sortant à travers le bord (deuxième terme).

On étudie dans la suite le problème scalaire à une dimension d'espace :

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial f(u)}{\partial x}}=0,\,\forall (x,t)\in \mathbb {R} \times [0;+\infty [}$