Ăquation des ondes
L'équation de d'Alembert ou équation des ondes est une équation aux dérivées partielles en physique qui régit la propagation d'une onde[N 1]. C'est une équation vérifiée par de nombreux phénomÚnes ondulatoires de la vie courante comme le son ou la lumiÚre.
ĂnoncĂ©
L'Ă©quation des ondes se formule[N 2] :
avec :
- l'opérateur laplacien ;
- l'onde vectorielle[N 3];
- une constante, vitesse de propagation de dans le milieu considéré ;
L'utilisation du laplacien permet de s'affranchir du choix d'un systÚme de coordonnées.
En coordonnées cartésiennes, l'équation des ondes devient :
avec :
- l'opérateur de dérivée partielle seconde en appliqué sur ;
- , , les trois variables cartésiennes de l'espace, et celle du temps.
L'Ă©quation des ondes s'applique Ă des fonctions scalaires ou vectorielles, qu'on formalise en champ vectoriel ou champ scalaire. Le champ renseigne Ă la fois sur l'amplitude de l'onde et sa polarisation. Une Ă©quation des ondes vectorielle regroupe trois Ă©quations des ondes scalaires.
Histoire
L'Ă©tablissement de l'Ă©quation des ondes est venu de lâĂ©tude des vibrations d'une corde de violon. Afin de pouvoir modĂ©liser ce comportement, les mathĂ©maticiens du XVIIe siĂšcle ont appliquĂ© la deuxiĂšme loi de Newton Ă la corde, d'abord vue comme un ensemble fini de masses ponctuelles reliĂ©es par des ressorts (dont le comportement est donnĂ© par la loi de Hooke Ă©tablie en 1660), avant d'augmenter le nombre de masses pour se rapprocher de la corde[2].
En 1727, Jean Bernoulli reprend l'expérience de la corde de violon et constate que ses vibrations forment une sinusoïde et que la variation de son amplitude en un point forme également une courbe sinusoïdale, mettant ainsi en évidence les modes[2]. En 1746, Jean Le Rond d'Alembert reprend le modÚle des masses ponctuelles liées par des ressorts et établit uniquement à partir des équations que les vibrations de la corde dépendent à la fois de l'espace et du temps.
Exemples en dimension 1
Ressort
Pour un ressort de constante de raideur , de longueur et de masse , l'allongement vérifie :
Corde
Pour une corde sans raideur de longueur , de masse sous la tension , et avec l'hypothÚse de petites déformations, l'élongation vérifie :
L'énergie d'application de la tension sur la longueur vérifie .
CĂąble coaxial
Pour un cùble coaxial de capacité linéique et d'inductance linéique , l'intensité et la tension vérifient toutes deux :
Barreau Ă©lastique
Pour un barreau élastique de module de Young , de volume et de masse , l'allongement vérifie :
RĂ©solution
En dimension 1
En dimension 1 d'espace, l'Ă©quation des ondes se simplifie en :
La solution générale de cette équation est alors la somme de deux fonctions indépendantes :
est une onde nommée progressive, car elle se propage dans le sens des croissants, tandis que est nommée régressive car se propageant dans le sens des décroissants. Lorsqu'on suit des yeux la perturbation, par exemple le haut d'une sinusoïdale, on observe en fait un point de phase constante, c'est-à -dire au point tel que soit constante, dans le cas de l'onde progressive. Comme le temps avance, croit, et doit alors croßtre à son tour pour maintenir constante. L'onde semble alors avancer dans le sens des croissants.
En dimension 3
Dans le cas d'une onde scalaire dans un milieu homogÚne, il convient de travailler en coordonnées sphériques pour résoudre l'équation des ondes :
En réécrivant l'équation sous la forme :
il vient, en reprenant les calculs faits sur le problĂšme 1D, que la solution s'Ă©crit sous la forme :
oĂč F et G sont des fonctions arbitraires.
Il apparaĂźt ainsi que les solutions sont des ondes sphĂ©riques, se propageant ou se rapprochant du point d'origine du repĂšre, considĂ©rĂ© comme un point source, oĂč les ondes sont singuliĂšres tandis qu'elles s'Ă©loignent avec une amplitude dĂ©croissante en 1âr.
Conservation de l'Ă©nergie
Si est une solution de l'Ă©quation des ondes alors l'Ă©nergie
est conservée au cours du temps. Ici on a noté la dimension d'espace et
Ăquation dans un domaine bornĂ© avec condition au bord
On peut également considérer l'équation des ondes dans un domaine de l'espace :
avec comme condition aux limites, par exemple :
(condition aux limites de Dirichlet) oĂč est le bord du domaine , ou
(condition aux limites de Neumann) oĂč est la dĂ©rivĂ©e normale extĂ©rieure au bord .
Notes et références
Notes
- Il s'agit d'une propagation isotrope, c'est-à -dire qui ne privilégie aucune direction, et sans dissipation, c'est-à -dire qui ne prend pas en compte l'atténuation de l'onde causée par l'absorption d'énergie par le milieu.
- On utilise parfois le d'alembertien : , réservé à l'équation de D'Alembert.
- est un champ vectoriel, c'est-Ă -dire une fonction qui Ă chaque point de l'espace et Ă chaque instant associe un vecteur, dont la norme vaut l'amplitude de l'onde Ă cette position et instant, et dont la direction donne celle de la perturbation. En d'autres termes, c'est une fonction de dans .
- L'inverse de la constante de raideur équivalente à N ressorts en série vaut la somme des inverses des constantes de raideur des N ressorts.
Références
- Douglas C. Giancoli, Physique générale : Ondes, optique et physique moderne, , 488 p. (ISBN 978-2-8041-1702-3, lire en ligne), p. 20
- Ian Stewart, 17 équations qui ont changé le monde, Flammarion, « Chapitre 8 : Bonnes vibrations - L'équation d'onde »