Équation aux dérivées partielles elliptique

En mathématiques, une équation aux dérivées partielles linéaire du second ordre, dont la forme générale est donnée par :

\sum _{i,j=1}^{n}{a_{ij}(\mathbf {x} ){\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}+\sum _{i=1}^{n}{b_{i}(\mathbf {x} ){\dfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}}+c(\mathbf {x} )f=h(\mathbf {x} ),\ \ \ \mathbf {x} \in U\subset \mathbb {R} ^{n}

est dite elliptique en un point donné x de l'ouvert U si la matrice carrée symétrique $A(\mathbf {x} )=\left(a_{ij}\right)_{1\leq i,j\leq n}$ des coefficients du second ordre admet des valeurs propres non nulles et de même signe[1].

Exemples

En physique, les équations de Laplace, $\Delta V=0$ et de Poisson $\Delta V+{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}=0$ pour le potentiel électrostatique $V=V(\mathbf {r} )$ respectivement dans le vide et pour la distribution de charges $\rho =\rho (\mathbf {r} )$ sont de type elliptique. En effet la matrice A est ici la matrice unité, et donc ses valeurs propres sont toutes égales à 1, donc non nulles et de même signe.

En revanche pour l'équation d'onde scalaire ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}-c^{2}\Delta f=0$ la matrice A est donnée par ${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-c^{2}&0&0\\0&0&-c^{2}&0\\0&0&0&-c^{2}\end{pmatrix}}$ , donc elle possède des valeurs propres non nulles, 1 et -c², mais de signe opposé. Il ne s'agit donc pas d'une équation aux dérivées partielles elliptique, mais d'une équation aux dérivées partielles hyperbolique.

Notes et références

H. Reinhard 2004

Bibliographie

H. Reinhard, Équations aux dérivées partielles, introduction, Paris, Dunod Université, coll. « Sciences Sup » (réimpr. 2004) (1^re éd. 1991), 291 p., broché (ISBN 978-2100484225).

Voir aussi

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