Processus de Gauss

À un signal à variance finie est associée une fonction d'autocovariance (voir Analyse spectrale). Dans les problèmes pratiques on n'a accès qu'à un enregistrement de durée limitée, ce qui constitue une perte d'information. La transformation de Fourier permet d'obtenir la densité spectrale, c'est-à-dire le contenu en fréquences du signal. En considérant le signal comme une réalisation d'un processus stationnaire ergodique, cette dernière caractéristique supposant que sa moyenne a été soustraite, l'autocovariance statistique de ce processus est égale à l'autocovariance temporelle. Elle permet de déterminer les matrices d'autocovariance pour des décalages temporels variés. Si le processus est gaussien, ces matrices suffisent pour le décrire à tous ordres. Ainsi l'autocovariance décrit entièrement le processus.

La représentation d'un processus gaussien centré sous la forme

${\displaystyle X(t)=A(t)\cos(\omega t+\Phi (t))\,}$

${\displaystyle \omega \,}$ : constante

${\displaystyle A(t)\,}$ : processus aléatoire à valeurs positives ou nulles

${\displaystyle \Phi \,}$ : processus aléatoire sur un intervalle ${\displaystyle ]0,2\pi ]\,}$

permet d'obtenir des résultats intéressants. Pour cela il faut également considérer le processus

${\displaystyle Y(t)=A(t)\sin(\omega t+\Phi (t))\,}$

Les deux processus gaussiens ont même variance ${\displaystyle \sigma ^{2}\,}$ et sont décorrélés donc indépendants. Leur densité de probabilité jointe se réduit donc à

${\displaystyle p_{XY}(x,y)={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$

Le changement de variables défini par les deux formules du début conduit à une densité de probabilité jointe qui montre que les deux nouveaux processus sont indépendants :

${\displaystyle p_{A}(a)={a \over \sigma ^{2}}e^{-{a^{2} \over {2\sigma ^{2}}}}\,}$ : processus de Rayleigh

${\displaystyle p_{\Phi }(\phi )={1 \over {2\pi }}\,}$ : processus uniforme

Le processus gaussien est donc décrit par un processus vaguement sinusoïdal ${\displaystyle \cos(\omega t+\Phi (t))\,}$ modulé par un processus enveloppe ${\displaystyle A(t)\,}$.

Un processus à bande étroite, somme de sinusoïdes de fréquences voisines, apparaît comme une sinusoïde modulée. La densité de probabilité de l'enveloppe représente alors approximativement la densité de probabilité des crêtes. La même loi s'applique aux amplitudes crête-creux avec une moyenne quadratique doublée.

Dans le cas d'un processus à large bande, ce résultat n'est plus valable car les hautes fréquences superposées à des creux basses fréquence font apparaître des crêtes négatives. Un raisonnement nettement plus compliqué conduit à la loi dite de Huston-Skopinski, parfois aussi appelée loi de Rice :

${\displaystyle f(x)=e^{-x^{2} \over 2}}$

${\displaystyle p_{A}(a)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}(\varepsilon f(a/\varepsilon )+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}af(a)\int _{-\infty }^{a{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}/\varepsilon }f(\alpha )d\alpha )}$

${\displaystyle \varepsilon }$ : paramètre compris entre 0 et 1 associé à la largeur du spectre.

Les deux limites ne peuvent être atteintes. La valeur 0 correspondrait à un spectre ne contenant qu'une fréquence, ce qui ne peut conduire à un phénomène gaussien. La valeur 1 correspond en particulier au bruit blanc parfaitement décorrélé, muni de la même densité spectrale à toutes les fréquences donc de variance infinie. Dans le cas gaussien cette décorrélation assure l'indépendance des variables aléatoires successives, les crêtes ayant alors la même distribution que les valeurs.

Dans les mêmes conditions, il est possible de calculer l'espérance de certaines périodes identique à leur moyenne temporelle, en particulier les moyennes des distances entre deux passages au zéro successifs à pente de même signe et entre deux crêtes successives. La première de ces périodes est utilisée en conjonction avec la loi de Rayleigh pour calculer les dommages en fatigue, si la distribution des contraintes est raisonnablement gaussienne/rayleighienne.

• (en) (en) Y. K. Lin, Probabilistic Theory of Structural Dynamics, New York, Robert E. Krieger Publishing Company, juillet 1976, 368 p. (ISBN 0882753770)

Processus gaussien