Houle trochoïdale

On recherche un écoulement permanent et périodique dans l’espace, et l’on utilise une description lagrangienne. On suppose[2] - [3] :

1. l'écoulement se fait selon des rouleaux cylindriques d'axe horizontal, ce qui élimine une dimension d'espace (déformations planes) ;
2. au repos, les éléments homologues du liquide occupent des droites horizontales à la profondeur ${\displaystyle y}$ ;
3. toutes les particules du liquide orbitent autour de cercles de centre fixe et de rayon ${\displaystyle r(y)}$ avec une pulsation uniforme ;
4. Le rayon ${\displaystyle r(y)}$ est une fonction décroissante ;
5. Le déphasage entre deux particules dont les centres de rotation sont alignés horizontalement, est proportionnel à la distance horizontale entre ces centres.

Il est aisé d'étendre les équations ci-dessus à un modèle 2D en surface (donc 3D) pour l'animation des mers et lacs en infographie[1] car la solution classique de Gerstner satisfait exactement les équations non-linéaires de l'écoulement d'un fluide parfait sous la surface libre ; cependant, l'extension 2D ne satisfera pas, elle, ces équations exactement (quoiqu'elle le fasse approximativement, pour peu que la description lagrangienne linéarisée utilise un potentiel de vitesse). On peut facilement animer une surface aquatique agitée par le vent très efficacement grâce à la transformation de Fourier rapide (FFT). Le rendu est d'autant plus convaincant que la déformation de la surface libre présente des irrégularités (de par la description lagrangienne de l'écoulement): des crêtes effilées et des creux aplatis.

La description mathématique de la surface libre de la houle trochoïdale se fait ainsi[1]: les coordonnées horizontales étant notées ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle z}$, et la coordonnée verticale, ${\displaystyle y}$, la surface libre moyenne est ${\displaystyle y=0}$ où ${\displaystyle y}$ est comptée positivement vers le haut, dans la direction opposée à la gravité d'intensité ${\displaystyle g}$. La surface libre est décrite par une équation paramétrique de paramètres ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta ,}$ et du temps ${\displaystyle t}$ qui sont fonction des coordonnées des points de la surface moyenne : ${\displaystyle (x,y,z)=(\alpha ,0,\beta )}$ autour desquels les particules de fluide de surface tourbillonnent. L'équation paramétrique de la surface libre est ${\displaystyle x=\xi (\alpha ,\beta ,t),}$ ${\displaystyle y=\zeta (\alpha ,\beta ,t)}$ et ${\displaystyle z=\eta (\alpha ,\beta ,t)}$ avec :

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=\alpha -\sum _{m=1}^{M}{\frac {k_{x,m}}{k_{m}}}\,{\frac {a_{m}}{\tanh \left(k_{m}\,h\right)}}\,\sin \left(\theta _{m}\right),\\\eta &=\beta -\sum _{m=1}^{M}{\frac {k_{z,m}}{k_{m}}}\,{\frac {a_{m}}{\tanh \left(k_{m}\,h\right)}}\,\sin \left(\theta _{m}\right),\\\zeta &=\sum _{m=1}^{M}a_{m}\,\cos \left(\theta _{m}\right)\quad {\text{et}}\\\theta _{m}&=k_{x,m}\,\alpha +k_{z,m}\,\beta -\omega _{m}\,t-\phi _{m},\end{aligned}}}$

où ${\displaystyle \tanh }$ est la fonction tangente hyperbolique, ${\displaystyle M}$ le nombre de composantes d'onde considéré, ${\displaystyle a_{m}}$ l’amplitude des composantes ${\displaystyle {m=1\dots M}}$ et ${\displaystyle \phi _{m}}$ leurs phases. D'autre part ${\displaystyle {k_{m}=\scriptstyle {\sqrt {(k_{x,m}^{2}+k_{z,m}^{2})}}}}$ est le nombre d'onde et ${\displaystyle \omega _{m}}$ la pulsation. Ces deux dernières, ${\displaystyle k_{m}}$ et ${\displaystyle \omega _{m},}$ ne sont pas indépendants du fait de la relation de dispersion :

${\displaystyle \omega _{m}^{2}=g\,k_{m}\,\tanh \left(k_{m}\,h\right),}$

où ${\displaystyle h}$ est la profondeur moyenne de l'écoulement. En eau profonde (${\displaystyle h\to \infty }$) la tangente hyperbolique tend vers un : ${\displaystyle {\tanh(k_{m}\,h)\to 1}}$. Les composantes ${\displaystyle k_{x,m}}$ et ${\displaystyle k_{z,m}}$ du vecteur d'onde horizontal ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}_{m}}$ déterminent la direction de propagation de la composante ${\displaystyle m.}$

Le choix des différents paramètres ${\displaystyle a_{m},k_{x,m},k_{z,m}}$ et ${\displaystyle \phi _{m}}$ pour ${\displaystyle {m=1,\dots ,{M},}}$ et de la profondeur moyenne ${\displaystyle h}$ détermine la forme de la surface libre. Un choix raisonné permettra une actualisation rapide par FFT[8]. Le plus souvent, on sélectionne les nombres d'onde sur un treillis régulier dans l'espace ${\displaystyle (k_{x},k_{z})}$. De là, les amplitudes ${\displaystyle a_{m}}$ et les phases ${\displaystyle \phi _{m}}$ sont arbitraires mais leur spectre de variance-densité définit un certain état de la mer. Enfin, grâce à l'algorithme de FFT, on peut simuler la surface de la mer comme un continuum périodique dans l'espace et dans le temps, en utilisant un algorithme de facétisation ; la périodicité temporelles est simulée par un léger décalage des fréquences ${\displaystyle \omega _{m}}$ donné par ${\displaystyle \omega _{m}=m\,\Delta \omega }$ pour ${\displaystyle {m=1,\dots ,{M}.}}$

Pour le rendu, on a aussi souvent besoin du vecteur normal ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$ sur un treillis de points pour l'éclairement des facettes. On l'obtient grâce au produit vectoriel (${\displaystyle \times }$) ce qui donne :

${\displaystyle {\boldsymbol {n}}={\frac {\partial {\boldsymbol {s}}}{\partial \alpha }}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {s}}}{\partial \beta }}\quad {\text{avec}}\quad {\boldsymbol {s}}(\alpha ,\beta ,t)={\begin{pmatrix}\xi (\alpha ,\beta ,t)\\\zeta (\alpha ,\beta ,t)\\\eta (\alpha ,\beta ,t)\end{pmatrix}}.}$

Le vecteur normal unité est alors ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{n}={\boldsymbol {n}}/\|{\boldsymbol {n}}\|,}$ où ${\displaystyle \|{\boldsymbol {n}}\|}$ est la norme euclidienne de ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}.}$

• (de) Theorie der Wellen, Mémoires de l'Académie royale de Bohême, 1804
  • trad. A. Barré de Saint-Venant, « Théorie des vagues », Annales des Ponts et Chaussées, vol. 1,‎ 1887, p. 31-86
• A.D.D. Craik, « The origins of water wave theory », Annual Review of Fluid Mechanics, vol. 36,‎ 2004, p. 1–28 (DOI 10.1146/annurev.fluid.36.050802.122118, Bibcode 2004AnRFM..36....1C)
• W.J.M. Rankine, « On the exact form of waves near the surface of deep water », Philosophical Transactions of the Royal Society of London, vol. 153,‎ 1863, p. 127–138 (DOI 10.1098/rstl.1863.0006)