Particule matérielle

Imaginons un corps ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ayant la forme d'un parallélépipédique rectangle (figure 3.1) qui, afin de simplifier les calculs, est constitué d'éléments de masse de formes cubiques (figure 3.2). Ces éléments de masse sont tous identiques. Ils sont immobiles par rapport au corps ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ et régulièrement espacés entre eux (figure 3.3).

• Fig.3 : Ensemble discontinu d'éléments de masse (corps C)
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  1. Corps C
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  2. Intérieur du corps C
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  3. Espace entre des éléments

Un élément de masse quelconque est désigné par ${\displaystyle E}$. La masse d'un élément de masse et la masse volumique de celui-ci sont respectivement désignées par ${\displaystyle m_{E}}$ et par ${\displaystyle \rho _{E}}$. Selon la dimension d'une parcelle du corps ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, nous pouvons envisager plusieurs cas.

• Cas 1 : Considérons une parcelle ${\displaystyle \mathrm {P} _{1}}$ dont le volume ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{1}}$ est plus petit que celui d'un élément de masse (figure 4.1).

La parcelle ${\displaystyle \mathrm {P} _{1}}$ contient un point ${\displaystyle P}$ situé sur la frontière d'un élément de masse ${\displaystyle E}$. Par rapport à l'élément de masse, déplaçons la parcelle ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{1}}$, perpendiculairement à l'une des faces de cet élément, tout en conservant le point ${\displaystyle P}$ dans la parcelle ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{1}}$ (figures 4.2).

• Fig.4 : Positions de parcelles sur l'axe X
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  1. Parcelle centrée en ${\displaystyle \scriptstyle M_{1}}$
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  2. Parcelle centrée en ${\displaystyle \scriptstyle M_{2}}$
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  3. Parcelle centrée en ${\displaystyle \scriptstyle M}$
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  4. Parcelle centrée en ${\displaystyle \scriptstyle M}$

La masse ${\displaystyle m_{1}}$ de la parcelle ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{1}}$ dépend de la position qu'elle occupe de part et d'autre de cette frontière. Le volume ${\displaystyle V_{1}}$ de la parcelle ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{1}}$ ne change pas. La masse volumique ${\displaystyle \rho _{1}}$ de la parcelle ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{1}}$ dépend donc de cette position (figure 5).

Fig.5 : Masse volumique ${\displaystyle \rho _{1}}$ de la parcelle P1 selon sa position sur X

Le graphe montrant l'évolution de la masse volumique de la parcelle ${\displaystyle \mathrm {P} _{1}}$, en fonction de la position de cette parcelle, est un graphe continu (figure 5). La masse volumique de la parcelle ${\displaystyle P_{1}}$ n'est pas pour autant une fonction continue: la valeur de cette fonction ne peut pas être définie au point P. En effet, la masse volumique de la parcelle ${\displaystyle P_{1}}$ contenant le point P dépend de la position que celle-ci occupe. La masse volumique au point ${\displaystyle P}$ ne pourra pas être déterminée à partir de la masse volumique d'une parcelle ${\displaystyle \mathrm {P} _{1}}$ contenant le point ${\displaystyle P}$. Si une parcelle ${\displaystyle \mathrm {P} }$ contient un point ${\displaystyle M}$ et que, dans aucune de ses positions, elle ne puisse contenir un point ${\displaystyle P}$ situé sur la frontière d'un élément de masse alors la masse volumique pourra être définie en ce point ${\displaystyle M}$: elle sera égale à zéro si le point ${\displaystyle M}$ est situé à l'extérieur de cet élément (figure 4.3) et égale à ${\displaystyle \rho _{E}}$ si le point ${\displaystyle M}$ est situé dans un élément de masse (figure 4.4).

La masse volumique d'une parcelle ${\displaystyle \mathrm {P} _{1}}$ n'est pas une fonction continue en tous les points situés à la surface d'un élément de masse. La masse volumique d'une parcelle ${\displaystyle \mathrm {P} _{1}}$ n'est pas une fonction continue en de trop nombreux points du corps ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$: elle ne pourra donc pas avoir un usage théorique en Mécanique des fluides et en Résistance des matériaux.

• Cas 2 : Considérons, maintenant, une parcelle ${\displaystyle \mathrm {P} _{2}}$ de volume ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{2}}$.

Elle contient ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{2}}$ éléments de masse du corps ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ (${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}_{2}=2}$ sur la figure 6.1). Désignons par ${\displaystyle P}$ un point géométrique que la parcelle ${\displaystyle \mathrm {P} _{2}}$ contient. Puisque la masse de ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{2}}$ est à égale à ${\displaystyle m_{2}={\mathcal {N}}_{2}\times m_{E}}$, la masse volumique de ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{2}}$ est égale à :

${\displaystyle \rho _{2}={\frac {m_{2}}{{\mathcal {V}}_{2}}}={\frac {{\mathcal {N}}_{2}\times m_{E}}{{\mathcal {V}}_{2}}}\;\;(3)}$.

Considérons une autre parcelle, une parcelle ${\displaystyle \mathrm {P} _{3}}$, contenant la parcelle ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{2}}$: son volume ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{3}}$ est donc plus grand que le volume ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{2}}$ de la parcelle ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{2}}$ (figure 6.2). La parcelle ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{3}}$ contient donc aussi le point ${\displaystyle P}$.

• Fig.6 : Masse volumique en un point
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  1. Parcelle P2
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  2. Parcelle P3
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  3. Délacement de P3

A priori, du fait de l'espacement des éléments de masse, les valeurs des masses volumiques ${\displaystyle \rho _{2}}$ et ${\displaystyle \rho _{3}}$ ne peuvent pas être égales.

Fig.7 : Masse volumique ${\displaystyle \scriptstyle \rho }$ d'une parcelle de matière selon son volume ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {V}}}$ : ${\displaystyle \scriptstyle \;\;\rho ={\mathcal {F}}({\mathcal {V}})}$

Afin d'examiner cela, appelons ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ la portion de l'espace que la particule ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{3}}$ occupe mais que n'occupe pas la particule ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{2}}$ :

1. Si la portion ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ est vide.

Les deux parcelles ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{2}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{3}}$ contiennent les mêmes éléments de masse. Les masses ${\displaystyle m_{2}}$ et ${\displaystyle m_{3}}$ de ces deux parcelles sont égales. Puisque le volume ${\displaystyle V_{3}}$ est plus grand que le volume ${\displaystyle V_{2}}$, la masse volumique ${\displaystyle \rho _{3}}$ sera donc plus petite que la masse volumique ${\displaystyle \rho _{2}}$ :

${\displaystyle \rho _{3}={\frac {m_{3}}{{\mathcal {V}}_{3}}}={\frac {m_{2}}{{\mathcal {V}}_{3}}}<{\frac {m_{2}}{{\mathcal {V}}_{2}}}=\rho _{2}\;\;\;(4)}$.

2. Si la portion ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ contient un ou plusieurs éléments de masse.

Les valeurs des masses volumiques ${\displaystyle \rho _{2}}$ et ${\displaystyle \rho _{3}}$ sont aussi, dans ce cas, différentes l'une de l'autre. La masse volumique d'une parcelle, contenant un point du corps ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, dépend du volume que la parcelle occupe. C'est ce que montre le graphe de la figure 7. Celui a été obtenu par calcul[12].

Toutefois, la masse volumique ${\displaystyle \rho }$ d'une parcelle ne varie quasiment plus en fonction de son volume lorsque ce dernier dépasse une certaine valeur. Cette condition peut être traduite par: lorsqu'une parcelle contient un nombre suffisant d' éléments de masse. Nous pourrions interpréter ces premières observations afin de conclure que la masse volumique d'une parcelle d'un corps, ayant un volume suffisant grand, est une fonction continue. Mais poursuivons ; la conclusion n'en sera que plus facile.

• Cas 3 : Supposons maintenant que, par rapport aux éléments de masse, qui sont, rappelons le, immobiles par rapport au corps, nous déplacions la frontière de la parcelle ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{3}}$ sans que ne soit changé le volume de cette parcelle (figure 6.3).

Dans l'exemple de la figure 6.3, la masse ${\displaystyle m_{3}}$ augmente ; donc la masse volumique ${\displaystyle \rho _{3}}$ augmente aussi. D'une manière générale, des résultats de calculs[12] montrent que la masse volumique d'une parcelle du corps ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ variera, aussi, en fonction de la position qu'elle occupe à l'intérieur de ce corps (figure 8).

Fig.8 : Masse volumique ${\displaystyle \scriptstyle \rho }$ d'une parcelle selon sa position ${\displaystyle \scriptstyle X}$ et son volume ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {V}}}$ : ${\displaystyle \scriptstyle \;\;\rho ={\mathcal {F}}(X,{\mathcal {V}})}$

Les éléments de masse constituant le corps ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ sont tous identiques et uniformément répartis. Pourtant, les masses volumiques de toutes les petites parcelles du corps C peuvent avoir des valeurs très différentes; même les masses volumiques des parcelles qui, très proches l'une de l'autre, occupent partiellement un même espace. Ainsi, toutes les petites parcelles contenant un même point n'auront pas la même masse volumique. Dans ce cas, nous ne pourrons pas définir une valeur unique de la masse volumique en un point précis du corps ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Cependant, nous pouvons constater qu'une parcelle dont la masse volumique ne varie plus quasiment plus en fonction de son volume et, aussi, une parcelle dont la masse volumique ne varie quasiment plus lorsque sa position change : la masse volumique de ces parcelles peut donc être considérée comme une fonction continue en tout point situé à l'intérieur du corps ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Un corps de matière solide ou fluide est un domaine discontinu de particules élémentaires. Les particules élémentaires sont des éléments de masse répartis dans un espace. La masse volumique d'une parcelle d'un corps de matière solide ou fluide présente donc des caractéristiques semblables à celle de la masse volumique d'une parcelle du corps ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Une parcelle de matière solide ou fluide doit aussi avoir un volume au-delà duquel la masse volumique de cette parcelle ne varie plus en fonction du volume et de la position de celle-ci. Désignons par ${\displaystyle ({\mathcal {V}}_{\mathcal {P}})_{min}}$, le volume minimum qu'une parcelle doit avoir pour que sa masse volumique soit une fonction continue dans l'espace : les particules élémentaires, contenues dans cette parcelle, constitue une parcelle matérielle.

La répartition des particules élémentaires peut varier d'un point à l'autre d'un corps (fluide compressible) ; c'est-à-dire que l'espacement des particules élémentaires n'est pas le même en tout point du corps. Cette variation de la répartition des particules élémentaires dans un corps, perceptible à l'échelle de ce corps, doit être révélée. Dans ce cas, la masse volumique d'une parcelle matérielles doit dépendre de la position d'un point quelconque que la parcelle matérielle contient et, en plus, les masses volumiques de toutes les particules de matière, pouvant contenir ce point quelconque, doivent avoir des valeurs égales entre elles ; sauf en des points qui seraient situés sur une surface de discontinuité. La masse volumique d'une parcelle matérielle est une grandeur moyenne qui doit être, en chaque point du corps, une fonction continue, mais aussi, une fonction suffisamment ponctuelle à l'échelle du corps. C'est pourquoi, le volume d'une parcelle de matière doit rester suffisamment petit à l'échelle du corps afin que la masse volumique de la parcelle puisse rendre compte de la présence d'une quantité matière à l'intérieur de petits espaces par rapport à celui occupé par le corps. En effet, plus le volume d'une parcelle de matière augmente et plus les variations d'une grandeur physique, à l'intérieur d'un corps, vont être atténuées. Le volume d'une parcelle doit être inférieur à un volume maximum : un volume au-delà duquel la masse volumique ne fournit plus une assez grande précision de la masse volumique à l'intérieur du corps. Nous désignerons, ce volume maximum, par ${\displaystyle ({\mathcal {V}}_{\mathcal {P}})_{max}}$.

D'une manière générale, à l'intérieur d'un espace occupé par un corps (fluide compressible), la loi des gaz parfaits doit donc être prise en compte par le modèle mathématique. En thermodynamique classique, la masse volumique n'est pas une grandeur ponctuelle : elle est relative à une quantité minimum de matière (particule thermodynamique). Désignons par ${\displaystyle ({\mathcal {V}}_{\mathcal {P}})_{min}^{ther}}$ le volume minimum que doit avoir la particule thermodynamique afin que les lois de la thermodynamique puissent être appliquées à la matière que la parcelle contient.

Sur la figure 9.1, les parcelles de matière ${\displaystyle \mathrm {P} _{1}}$, ${\displaystyle \mathrm {P} _{2}}$, ${\displaystyle \mathrm {P} _{3}}$ et ${\displaystyle \mathrm {P} _{4}}$ contiennent des points situés sur des surfaces de discontinuité : deux frontières séparant deux milieux différents. Quelle que soit la dimension d'une parcelle contenant un point situé sur une surface de discontinuité, la masse volumique de cette parcelle dépendra de la position qu'elle occupe par rapport à la surface de discontinuité. Donc, aucune masse volumique ne peut être définie en des points situés sur une surface de discontinuité.

• Fig.9 : Surfaces de discontinuité
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  1. Récipient
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  2. Porte vénitienne

Afin que la masse volumique d'une parcelle de matière soit une fonction continue qui puisse rendre compte, de la répartition de la masse, avec une précision suffisante, il est nécessaire que la valeur du volume de cette parcelle soit comprise entre la valeur du volume ${\displaystyle ({\mathcal {V}}_{\mathcal {P}})_{min}}$ et celle du volume ${\displaystyle ({\mathcal {V}}_{\mathcal {P}})_{max}}$. Cette parcelle de matière sera nommée particule matérielle. La masse volumique d'une particule matériel sera désignée par ${\displaystyle \rho _{\mathcal {P}}}$.

Si la matière est incompressible, la masse volumique d'une particule matérielle sera celle du corps.