Fluide parfait

Nous allons démontrer que l'équation précédente contient la conservation de l'énergie. Dans le cas classique cela revient à prendre la composante temporelle de l'équation (indice 0).

La quantité ${\displaystyle u^{\alpha }D_{\alpha }X}$ mesure la variation d'une quantité X le long de la trajectoire de l'élément de fluide. Elle correspond donc à la variation de cette quantité transportée par l'élément de fluide. On la note communément ${\displaystyle {\mathrm {d} }/{\mathrm {d} }\tau }$, ${\displaystyle \tau }$ étant le temps propre associé à l'élément de fluide. On obtient ainsi

${\displaystyle {\frac {u^{\beta }}{c^{2}}}{\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }\tau }}\left(P+\rho \right)+\left(P+\rho \right){\frac {1}{c^{2}}}{\frac {{\mathrm {d} }u^{\beta }}{{\mathrm {d} }\tau }}+\left(P+\rho \right){\frac {u^{\beta }}{c^{2}}}D_{\alpha }u^{\alpha }-D^{\beta }P=0}$.

En effectuant le produit scalaire de cette équation avec la quadrivitesse, il vient alors, en notant par un point la dérivée par rapport à ${\displaystyle \tau }$,

${\displaystyle \left({\dot {P}}+{\dot {\rho }}\right)+\left(P+\rho \right){\frac {u_{\beta }}{c^{2}}}{\dot {u}}^{\beta }+\left(P+\rho \right)D_{\alpha }u^{\alpha }-{\dot {P}}=0}$.

La quadrivitesse ayant une norme constante, ${\displaystyle u_{\beta }u^{\beta }=c^{2}}$, une quantité du type ${\displaystyle u_{\beta }{\dot {u}}^{\beta }}$ est nulle. Il vient donc

${\displaystyle {\dot {\rho }}+\left(P+\rho \right)D_{\alpha }u^{\alpha }=0}$.

Le terme ${\displaystyle D_{\alpha }u^{\alpha }}$, habituellement noté ${\displaystyle \theta }$ est appelé expansion de l'élément de fluide. Dans la limite non relativiste, il correspond à la divergence du vecteur vitesse, ce qui correspond au taux de variation de son volume. Ainsi, on a

${\displaystyle \theta ={\frac {{\mathrm {d} }V}{V{\mathrm {d} }t}}}$,

ce qui permet de réécrire l'équation en

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho +\left(P+\rho \right){\frac {{\mathrm {d} }V}{V{\mathrm {d} }t}}=0}$.

Enfin, l'hypothèse de conservation du nombre de particules s'écrit

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}n+n{\frac {{\mathrm {d} }V}{V{\mathrm {d} }t}}=0}$,

où n représente la densité de particules. Elle est reliée à sa densité d'énergie de masse par la formule

${\displaystyle n={\frac {\mu c^{2}}{mc^{2}}}}$,

m étant la masse des particules. Cette équation s'interprète par le fait que le nombre de particules de l'élément de fluide étant contant, la variation de la densité de celles-ci le long de l'écoulement est uniquement due à la variation du volume de l'élément En pratique, si l'on repasse en termes de coordonnées, la densité de particules est une fonction des coordonnées d'espace et de temps, ${\displaystyle n({\mathbf {x} },t)}$. Si l'élément de fluide possède une trajectoire ${\displaystyle {\mathbf {x} }(t)}$, alors sa variation le long de la trajectoire se fait selon celle de ${\displaystyle n({\mathbf {x} }(t),t)}$, et correspond donc à

${\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }n}{{\mathrm {d} }t}}={\frac {\partial }{\partial t}}n+{\frac {{\mathrm {d} }{\mathbf {x} }}{{\mathrm {d} }t}}\cdot \nabla n}$.

Ainsi, on obtient

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}n+{\mathbf {v} }\cdot \nabla n+n\nabla \cdot {\mathbf {v} }=0.}$,

que l'on peut regrouper en

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}n+\nabla \cdot (n{\mathbf {v} })=0}$.

Ainsi, l'équation initiale laisse uniquement

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\epsilon =-(P+\epsilon ){\frac {1}{V}}{\frac {\partial V}{\partial t}}}$,

ce qui se réécrit

${\displaystyle {\mathrm {d} }\epsilon =-(P+\epsilon ){\frac {{\mathrm {d} }V}{V}}}$ ;

comme annoncé on retrouve la conservation de l'énergie de la particule fluide :

${\displaystyle {\mathrm {d} }(\epsilon V)=-P{\mathrm {d} }V}$.