Fonction zêta de Weierstrass

Tracé de la fonction sigma de Weierstrass par coloriage de domaine.

La fonction sigma de Weierstrass associée à un réseau bidimensionnel ${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {C} }$ est définie comme le produit infini

${\displaystyle \sigma (z:\Lambda )=z\prod _{w\in \Lambda \setminus \lbrace 0\rbrace }\left(1-{\frac {z}{w}}\right){\rm {e}}^{z/w+{\frac {1}{2}}{(z/w)}^{2}}}$

Tracé de la fonction zêta de Weierstrass par coloriage de domaine.

La fonction zêta de Weierstrass est définie par

${\displaystyle \zeta (z:\Lambda )={\frac {\sigma '(z;\Lambda )}{\sigma (z;\Lambda )}}={\frac {1}{z}}+\sum _{w\in \Lambda ^{*}}\left({\frac {1}{z-w}}+{\frac {1}{w}}+{\frac {z}{w^{2}}}\right)}$

La fonction est une dérivation logarithmique de la fonction sigma. La fonction zêta peut être ré-écrite comme :

${\displaystyle \zeta (z;\Lambda )={\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{2k+2}(\Lambda )z^{2k+1}}$

où ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2k+2}}$ est la série d'Eisenstein de poids 2k+2.

La dérivée de la fonction zêta est ${\displaystyle -\wp (z)}$

La fonction êta de Weierstrass est définie par

${\displaystyle \eta (w;\Lambda )=\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda ),{\mbox{ pour tout }}z\in \mathbb {C} }$ et tout w dans le réseau ${\displaystyle \Lambda }$

Cette fonction est bien définie, i.e. ${\displaystyle \zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda )}$ ne dépend que du vecteur w.

La fonction êta de Weierstrass ne doit pas être confondue avec la fonction êta de Dedekind.

Tracé de la fonction ℘ de Weierstrass par coloriage de domaine.

La fonction ℘ de Weierstrass est liée à la fonction zêta par :

${\displaystyle \operatorname {\wp } {(z;\Lambda )}=-\operatorname {\zeta '} {(z;\Lambda )},\forall z\in \mathbb {C} }$

C'est une fonction elliptique paire d'ordre N=2 avec un pôle double en chaque point du réseau et aucun pôle ailleurs.

• (en) « Weierstrass sigma function », sur PlanetMath
• (en) Eric W. Weisstein, « Weierstrass Zeta Function », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Weierstrass Sigma Function », sur MathWorld