Coordonnées homogènes

Les transformations affines sont les applications de l'espace composées d'une application linéaire et d'une translation, comme les rotations, les translations, les homothéties, les projections ainsi que les changements de repères ; elles peuvent être considérées comme des transformations projectives laissant globalement invariant le plan à l'infini ; en coordonnées homogènes, elles peuvent donc être représentées sous la forme d'une matrice de taille 4×4 dont la dernière ligne est toujours (0 0 0 1). Les sections suivantes détaillent certaines de ces représentations.

La matrice traduisant une translation dans l'espace écrite sous la forme d'un vecteur ${\displaystyle (t_{x}:t_{y}:t_{z})}$ est de la forme :

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}1&0&0&t_{x}\\0&1&0&t_{y}\\0&0&1&t_{z}\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]}$

En effet, si l'on calcule les coordonnées du point M' de coordonnées ${\displaystyle (sX':sY':sZ':s)}$ qui est l'image de M par la translation citée, on applique la multiplication matricielle suivante :

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}sX'\\sY'\\sZ'\\s\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1&0&0&t_{x}\\0&1&0&t_{y}\\0&0&1&t_{z}\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}X\\Y\\Z\\1\end{matrix}}\right]}$

Ce qui donne bien :

${\displaystyle {\begin{cases}sX'=t_{x}+X\\sY'=t_{y}+Y\\sZ'=t_{z}+Z\\s=1\end{cases}}}$

Plus généralement, toute transformation affine est composée d'une application linéaire et de la translation amenant l'origine du repère sur son image ; sa matrice est donc de la forme

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}a&b&c&t_{x}\\a'&b'&c'&t_{y}\\a''&b''&c''&t_{z}\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]}$

où la sous-matrice

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\a''&b''&c''\end{matrix}}\right]}$

représente l'application linéaire en question.

Une rotation dans l'espace peut être aussi notée sous forme matricielle. L'opérateur sera de la forme :

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}R_{3\times 3}&0_{3\times 1}\\0_{1\times 3}&1\end{matrix}}\right]}$

La sous-matrice R_3×3 désigne ici une matrice de rotation telle qu'elle est habituellement définie dans l'espace. Si l'on prend un repère de l'espace ${\displaystyle (O,{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})}$, nous obtenons les rotations suivantes autour des axes principaux :

• rotation d'angle α autour de ${\displaystyle {\vec {i}}}$ :

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )&0\\0&\sin(\alpha )&\cos(\alpha )&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]}$

• rotation d'angle β autour de ${\displaystyle {\vec {j}}}$ :

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\cos(\beta )&0&\sin(\beta )&0\\0&1&0&0\\-\sin(\beta )&0&\cos(\beta )&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]}$

• rotation d'angle γ autour de ${\displaystyle {\vec {k}}}$ :

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\cos(\gamma )&-\sin(\gamma )&0&0\\\sin(\gamma )&\cos(\gamma )&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]}$

Exemple de projection orthographique.

Dans une projection, les points sont projetés suivant une direction déterminée sur un plan situé à une distance f de l'origine suivant la direction ${\displaystyle {\vec {k}}}$. La projection orthographique est parfois interprétée comme étant une projection perspective dans laquelle le point de perspective est rejeté à l'infini. La matrice de transformation associée est alors la suivante :

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&f\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]}$

Les coordonnées homogènes prennent tout leur intérêt dans ce cas précis. En effet, cette notation permet de traduire les changements de repère. Si le nouveau repère a son origine translatée par rapport à l'ancien d'un vecteur ${\displaystyle t_{3\times 1}=(t_{x}:t_{y}:t_{z})}$ et voit sa base dans le même temps changée, la matrice de changement de base étant notée R_3×3, alors les coordonnées du point M notées ${\displaystyle (X',Y',Z',1)}$ dans le nouveau repère seront liées aux coordonnées ${\displaystyle (X,Y,Z,1)}$ exprimées dans l'ancien repère par la relation :

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}sX\\sY\\sZ\\s\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}&&&\\&R_{3\times 3}&&t_{3\times 1}\\&&&\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}X'\\Y'\\Z'\\1\end{matrix}}\right]}$

Les coordonnées dans le nouveau repère en fonction de celles dans l'ancien se déterminent alors en inversant la matrice précédente. Ce qui donne :

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}sX'\\sY'\\sZ'\\s\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}&&&\\&R_{3\times 3}^{T}&&-R_{3\times 3}^{T}t_{3\times 1}\\&&&\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}X\\Y\\Z\\1\end{matrix}}\right]}$

où R_3×3^T représente la matrice transposée de R_3×3.

Exemple de projection gnomonique.

On se place dans le cas d'une projection sur un plan ${\displaystyle ({\vec {i}},{\vec {j}})}$ situé à une distance f de l'origine suivant la direction ${\displaystyle {\vec {k}}}$. Les points projetés sont ici sur la droite passant par l'origine et le point à projeter. La matrice est alors exprimée sous la forme suivante :

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&1/f&0\end{matrix}}\right]}$

En effet, si l'on calcule les coordonnées du point projeté M' de coordonnées ${\displaystyle (sX':sY':sZ':s1)}$ qui est l'image de ${\displaystyle M(X:Y:Z:1)}$ par la projection citée, nous obtenons :

${\displaystyle {\begin{cases}sX'=X\\sY'=Y\\sZ'=Z\\s=Z/f\end{cases}}\quad \Leftrightarrow \quad {\begin{cases}X'=fX/Z\\Y'=fY/Z\\Z'=f\\\end{cases}}}$

Ceci est conforme puisque la troisième coordonnée du point est bien f, comme attendu.

Comme la troisième coordonnée est toujours connue (égale à f), il est possible de déterminer directement les coordonnées 2D sur le plan lui-même. Nous avons alors le passage de coordonnées homogènes 3D à des coordonnées homogènes 2D. Si l'on prend M' de coordonnées sur le plan ${\displaystyle (sx',sy',s)}$ image de M de coordonnées ${\displaystyle (X,Y,Z,1)}$ alors la relation liant les deux points sera écrite sous la forme :

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}sx'\\sy'\\s\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}f&0&0&0\\0&f&0&0\\0&0&1&0\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}X\\Y\\Z\\1\\\end{matrix}}\right]}$

Ce qui est équivalent au système

${\displaystyle {\begin{cases}sx'=fX\\sy'=fY\\s=Z\\\end{cases}}\quad \Leftrightarrow \quad {\begin{cases}x'=fX/Z\\y'=fY/Z\\s=Z\\\end{cases}}}$

On retrouve alors les mêmes valeurs que précédemment (x' = X' et y' = Y'). On a ainsi une formulation qui donne directement les coordonnées du point projeté sur le plan considéré.