Ordre (théorie des anneaux)

Voici quelques exemples de R-ordres d'une algèbre A[1] :

• M_n(R), si A est l'anneau de matrices M_n(K) ;
• la fermeture intégrale de R dans A, si A est une extension finie séparable de K ;
• R[a], si A est l'algèbre K[a], pour un élément a de A entier sur R ;
• l'algèbre de groupe R[G], si A est l'algèbre K[G] d'un groupe fini G.

Lorsque l'algèbre A n'est pas commutative, la notion d'ordre reste importante mais les phénomènes sont différents. Par exemple, l'ordre des (en) quaternions de Hurwitz, qui est un ordre maximal dans l'algèbre ℚ[ℍ] des quaternions à coordonnées rationnelles, contient strictement l'anneau ℤ[ℍ] des quaternions à coordonnées entières. Il existe en général des ordres maximaux mais pas un ordre maximum.

Une propriété fondamentale est que tout élément d'un R-ordre est entier sur R[1]. Lorsque la fermeture intégrale S de R dans A est un R-ordre, il en résulte que S est le R-ordre maximum de A. Mais ce n'est pas toujours le cas : S peut ne pas être un anneau, et même s'il en est un (ce qui est le cas si A est commutative) il peut ne pas être un R-réseau[1].

L'exemple-prototype, issu de la théorie algébrique des nombres avec Dedekind, est celui où A est un corps de nombres K et O est l'anneau O_K de ses entiers. Cet ordre est maximum mais contient des sous-ordres si K contient strictement ℚ. Par exemple si K est le corps ℚ(i) des rationnels de Gauss, O_K est l'anneau ℤ[i] des entiers de Gauss et contient entre autres le sous-ordre ℤ + 2iℤ[2].

À tout réseau (plein) M dans K on associe l'ordre { k ∈ K | kM ⊂ M }. Deux réseaux dans K sont dits équivalents s'ils sont transformés l'un de l'autre par une homothétie de rapport appartenant à K (ou à ℚ pour l'équivalence stricte). Tout ordre est l'ordre d'un réseau (lui-même) et deux réseaux équivalents ont même ordre.

La question des ordres maximaux peut être examinée au niveau des corps locaux. Cette technique est appliquée en théorie algébrique des nombres et en théorie des représentations modulaires (en).