Théorème de Mordell-Weil

Pour K un corps de nombres et A une variété abélienne sur K, le groupe des points K-rationnels de A est finiment engendré (et abélien).

Il est donc possible d'écrire le groupe des points K-rationnels sous la forme ${\displaystyle A(K)=A_{tors}(K)\times \mathbf {Z} ^{r}}$.

La méthode des tangentes et des sécantes (une des définitions de l'addition sur une courbe elliptique) et la descente infinie de Fermat sont les deux bases de la démonstration de Mordell, qui commence par établir que le groupe quotient E(Q)/2E(Q) est fini (ce résultat est parfois appelé le théorème de Mordell-Weil faible). Pour plus de détails, voir la section correspondante de l'article Courbe elliptique.

Dans sa thèse de doctorat publiée en 1928, André Weil obtint une généralisation aux jacobiennes des courbes de genre supérieur définies sur des corps de nombres arbitraires. Pour transporter la démonstration à ce cas, des méthodes plus abstraites deviennent nécessaires, et en particulier la seconde partie de la démonstration (la descente infinie) demande d'introduire une notion de hauteur, permettant de borner la « taille » des points de A(K). Les hauteurs sont logarithmiques, et donc (en gros) proportionnelles au nombre de chiffres nécessaires pour écrire les coordonnées homogènes des points de la variété abélienne, considérée comme une variété projective (dans une représentation arbitraire, car il n'existe pas de représentation canonique de la variété en général).

Des avancées techniques ultérieures ont permis des simplifications significatives des deux parties de la preuve, en appliquant la cohomologie galoisienne à la descente, et en utilisant les meilleures fonctions de hauteur possibles (qui s'avèrent être des formes quadratiques). Le théorème laissait ouvertes un certain nombre de questions :

• Pour une courbe C dont la jacobienne est A, l'intersection de C et de A(K) peut-elle être infinie, autrement dit, C peut-elle avoir un nombre infini de points « rationnels »? La réponse est négative sauf si C est une courbe elliptique (C = A et le genre de C est 1; si le genre de C est 0, alors A=0 mais C peut avoir une infinité de points rationnels), d'après la conjecture de Mordell, devenue le théorème de Faltings en 1983.
• C peut-elle contenir un nombre infini de points de torsion de A ? Là aussi, la réponse est négative, sauf dans le cas des courbes elliptiques, selon la conjecture de Manin-Mumford (en) démontrée également en 1983 par Michel Raynaud. Dans le cas des courbes elliptiques, la structure du groupe de torsion de C(K), si K est le corps des nombres rationnels, est donnée par le théorème de Mazur.
• À quoi est relié le rang de la courbe (c'est-à-dire le rang de la composante sans torsion du groupe A(K)) ? C'est l'objet de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, dont on ne sait encore démontrer que quelques cas particuliers.
• Comment calculer le rang ? C'est un problème difficile, qu'on ne sait pas toujours résoudre de manière effective ; voir à ce sujet la section correspondante de l'article Courbe elliptique.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mordell–Weil theorem » (voir la liste des auteurs).
• A. Weil, « L'arithmétique sur les courbes algébriques », Acta Math., vol. 52, 1929, p. 281-315, réimprimée dans le volume 1 de ses articles (ISBN 0-387-90330-5) [lire en ligne]
• (en) L. J. Mordell, « On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees », Proc. Cam. Phil. Soc., vol. 21, 1922, p. 179
• (en) Joseph H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, New York, NY, Springer, coll. « GTM » (n^o 106), 2009, 2^e éd. (ISBN 978-0-387-09494-6, lire en ligne)
• (en) Joseph H. Silverman, John Tate, Rational Points on Elliptic Curves, coll. « UTM », 2015, 2^e éd. (ISBN 978-3-319-18587-3, lire en ligne)