Variété jacobienne

On fixe une courbe algébrique projective lisse ${\displaystyle C}$ de genre au moins 1 sur un corps ${\displaystyle k}$. Dans une première approximation, on peut dire que sa jacobienne ${\displaystyle J}$ est une variété algébrique dont les points correspondent aux diviseurs de degré 0 sur ${\displaystyle C}$ modulo équivalence rationnelle. Comme ces derniers forment naturellement un groupe, ${\displaystyle J}$ est même un groupe algébrique.

De façon rigoureuse: on considère le foncteur de Picard (faisceautisé) ${\displaystyle \mathrm {Pic} _{C/k}}$. Ce foncteur est représentable par un schéma en groupes lisse localement de type fini. La composante connexe de l'élément neutre, notée ${\displaystyle \mathrm {Pic} _{C/k}^{0}}$ est appelée la jacobienne de ${\displaystyle C}$.

On montre que ${\displaystyle J}$ est une variété abélienne.

On note par ${\displaystyle \mathrm {Pic} ^{0}(C)}$ le groupe des diviseurs de degré 0 sur ${\displaystyle C}$ modulo équivalence rationnelle. Par construction, on a un homomorphisme de groupes injectif

${\displaystyle \mathrm {Pic} ^{0}(C)\hookrightarrow J(k)}$

dont le conoyau est un sous-groupe du groupe de Brauer de k. Supposons pour simplifier que ${\displaystyle C}$ admet un point rationnel P. Alors l'homomorphisme ci-dessus est un isomorphisme. En particulier, sur la clôture algébrique ${\displaystyle {\bar {k}}}$ de ${\displaystyle k}$, on a toujours un isomorphisme de groupes ${\displaystyle \mathrm {Pic} ^{0}(C_{\bar {k}})\to J({\bar {k}}).}$

Exemple Si ${\displaystyle C}$ est une courbe de genre 1, alors ${\displaystyle J}$ est une courbe elliptique, isomorphe à ${\displaystyle C}$ comme variétés algébriques si ${\displaystyle C}$ admet un point rationnel.

• ${\displaystyle J}$ est une variété abélienne de dimension ${\displaystyle g}$ si ${\displaystyle g=g(C)}$ est le genre de ${\displaystyle C}$.
• Si ${\displaystyle C}$ possède un point rationnel ${\displaystyle P}$, alors on a une immersion fermée ${\displaystyle i:C\to J}$ qui envoie ${\displaystyle P}$ sur 0 (élément neutre de ${\displaystyle J}$) et tout point rationnel ${\displaystyle Q}$ sur la classe du diviseur de degré 0 ${\displaystyle Q-P}$ dans ${\displaystyle \mathrm {Pic} ^{0}(C)}$. De plus tout morphisme ${\displaystyle C\to A}$ dans une variété abélienne ${\displaystyle A}$ qui envoie ${\displaystyle P}$ sur 0 se factorise en ${\displaystyle i:C\to J}$ et un morphisme de variétés abéliennes ${\displaystyle J\to A}$.
• Sous l'hypothèse ci-dessus, pour tout entier positif ${\displaystyle r}$, il existe un morphisme ${\displaystyle f_{r}:C^{(r)}\to J}$ du produit symétrique ${\displaystyle C^{(r)}}$ (le quotient de ${\displaystyle C^{r}}$ par le groupe symétrique ${\displaystyle S_{r}}$ opérant par 'permutation des coordonnées') dans la jacobienne. Ensemblistement, ${\displaystyle f_{r}}$ envoie une somme ${\displaystyle x_{1}+\ldots +x_{r}}$ de ${\displaystyle r}$ points rationnels sur la classe du diviseur ${\displaystyle (x_{1}+\ldots +x_{r})-rP}$. Le morphisme ${\displaystyle f_{g}}$ est birationnel. L'image de ${\displaystyle f_{r-1}}$ est un diviseur dans ${\displaystyle J}$, appelé diviseur théta ${\displaystyle \theta }$.
• Le diviseur ${\displaystyle \theta }$ induit un isomorphe de ${\displaystyle J}$ avec sa variété abélienne duale. On dit que ${\displaystyle J}$ est autoduale.
• Toute variété abélienne est un quotient d'une jacobienne.

(en) J. Milne, « Jacobian varieties », in Arithmetic Geometry, ed. Cornell, Silverman, Springer-Verlag.