Fonction zêta de Hasse-Weil

En mathématiques, la fonction zêta de Hasse-Weil attachée à une variété algébrique V définie sur un corps de nombres K est un des deux types les plus importants des fonctions L. De telles fonctions L sont appelées 'globales', elles sont définies comme des produits eulériens en termes de fonctions zêta locales. Elles forment une des deux classes majeures des fonctions L globales, l'autre étant les fonctions L associées aux représentations automorphes. Conjecturellement, il existe simplement un type essentiel de fonction L globale, avec deux descriptions (provenant d'une variété algébrique, provenant d'une représentation automorphe) ; ce serait une vaste généralisation de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, elle-même un résultat récent et très profond (en 2004) de la théorie des nombres.

La description d'une fonction zêta de Hasse-Weil comme produit eulérien est relativement simple, au moins à un nombre fini de facteurs près. Ceci découle des suggestions initiales de Helmut Hasse et André Weil, motivées par le cas dans lequel V est un point isolé, et les résultats de la fonction zêta de Riemann.

En prenant le cas où K est le corps ℚ des nombres rationnels, et V une variété projective non singulière, nous pouvons pour presque tous les nombres premiers p considérer la réduction de V modulo p, une variété algébrique V_p sur le corps fini F_p à p éléments, simplement en réduisant les équations pour V. De nouveau, pour presque tous les p, elle sera non singulière. Nous définissons

${\displaystyle Z_{V,Q}(s)\,}$

comme étant la série de Dirichlet de la variable complexe s, qui est le produit infini de fonctions zêta locales

${\displaystyle \zeta _{V,p}\left(p^{-s}\right)\,}$.

Alors ${\displaystyle Z(s)}$, selon notre définition, n'est bien définie qu'à multiplication près par les fonctions rationnelles en un nombre fini de ${\displaystyle p^{-s}}$.

Puisque l'indétermination est relativement anodine, et possède un prolongement analytique partout, on peut donner un sens au fait que les propriétés de ${\displaystyle Z(s)}$ n'en dépendent pas essentiellement. En particulier, tandis que la forme exacte de l'équation fonctionnelle pour ${\displaystyle Z(s)}$, qui se reflète dans une droite verticale dans le plan complexe, dépend de « facteurs manquants », l'existence même d'une telle équation n'en dépend pas.

Une définition plus raffinée est devenue possible avec le développement de la cohomologie étale ; ceci explique de manière ordonnée que faire avec les facteurs de 'mauvaise réduction', manquants. Selon les principes généraux de la théorie de la ramification, les « mauvais » nombres premiers portent une bonne information (théorie du conducteur (en)). Ceux-ci se manifestent d'eux-mêmes dans la théorie étale par le critère de Ogg-Néron-Shafarevich pour la bonne réduction ; c'est-à-dire qu'il existe une bonne réduction, dans un sens défini, en tous les nombres premiers p pour lesquels la représentation galoisienne ρ sur les groupes cohomologiques étales de V est non ramifiée. Pour ceux-ci, la définition de fonction zêta locale peut être exprimée en termes de polynôme caractéristique de

${\displaystyle \rho (Frob(p))\,}$

${\displaystyle Frob(p)}$ étant un élément de Frobenius pour p. Ce qui arrive au p ramifié est que ρ est non trivial sur le groupe d'inertie ${\displaystyle I(p)}$ pour p. En ces nombres premiers, la définition doit être « corrigée », en prenant le plus grand quotient de la représentation ρ sur lequel le groupe d'inertie agit par la représentation triviale. Avec ce raffinement, la définition de ${\displaystyle Z(s)}$ peut être améliorée de « presque tous » les p à tous les p participant au produit eulérien. Les conséquences pour l'équation fonctionnelle ont été établies par Jean-Pierre Serre et Pierre Deligne à la fin des années 1960 ; l'équation fonctionnelle elle-même n'a pas été démontrée en général.

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