Droite projective

Une droite vectorielle de ${\displaystyle K^{2}}$, et donc un point de la droite projective ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(K)}$, est définie par un point ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ de cette droite autre que l'origine. Autrement dit, un point sur la droite projective ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(K)}$ est représenté par une paire de la forme : ${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]\,}$ où ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in K\,}$ ne sont pas tous deux nuls. On dit que la paire ${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]\,}$ est un système de coordonnées homogènes de ce point.

Ce point de ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(K)}$ correspond à la droite de ${\displaystyle K^{2}}$ d'équation ${\displaystyle x_{2}x=x_{1}y\,}$.

Deux telles paires ${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]\,}$ et ${\displaystyle [x_{1}^{\prime }:x_{2}^{\prime }]\,}$ représentent donc le même point de ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(K)}$ si elles ne diffèrent que par un facteur non nul λ :

${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]=[\lambda x_{1}:\lambda x_{2}].\,}$

On a défini ainsi une relation d'équivalence sur ${\displaystyle K^{2}\setminus (0,0)}$ et ${\displaystyle P^{1}(K)}$ est l'ensemble quotient de ${\displaystyle K^{2}\setminus (0,0)}$ par cette relation d'équivalence, ou encore le quotient ${\displaystyle {\big (}K^{2}\setminus (0,0){\big )}/K^{\ast }}$ de ${\displaystyle K^{2}\setminus (0,0)}$ par l'action par homothéties du groupe multiplicatif ${\displaystyle K^{\ast }}$.

On peut K identifier au sous-ensemble de ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(K)}$ donné par :

${\displaystyle \left\{[a:1]\in \mathbb {P} ^{1}(K)\ {\big |}\ a\in K\right\}}$

(l'élément ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle K}$ correspond à la droite de ${\displaystyle K^{2}}$ d'équation ${\displaystyle x=ay}$).

Ce sous-ensemble couvre tous les points de ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(K)}$, excepté le point à l'infini ${\displaystyle \infty =[1:0]}$ (correspondant à la droite de ${\displaystyle K^{2}}$ d'équation ${\displaystyle y=0}$).

Le groupe linéaire GL(2, K) agit sur ${\displaystyle K^{2}\setminus \{(0,0)\}}$ et cette action passe au quotient. Comme les homothéties donnent l'identité par passage au quotient, on obtient une action du groupe quotient ${\displaystyle \mathrm {GL} (2,K)/K^{*}}$, noté PGL(2, K) et appelé groupe des homographies.

Soit ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}}$ une application linéaire inversible. L'homographie correspondante ${\displaystyle f}$ est donnée, avec les conventions du paragraphe ci-dessus, par

${\displaystyle f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}}$ si ${\displaystyle x\in K}$ est différent de ${\displaystyle -{\frac {d}{c}}}$.

Pour ${\displaystyle x=-{\frac {d}{c}}}$, on a ${\displaystyle f(x)=\infty }$. L'image du point à l'infini est ${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$.

Si ${\displaystyle c=0}$, alors ${\displaystyle f}$ est une transformation affine : les transformations affines apparaissent comme les homographies qui conservent le point à l'infini.

L'action de PGL(2, K) sur P¹(K) est strictement 3-transitive, c'est-à-dire qu'étant donné deux triplets de points deux à deux distincts ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$ et ${\displaystyle (y_{1},y_{2},y_{3})}$, il existe une homographie et une seule telle que ${\displaystyle f(x_{i})=y_{i}}$ (pour le montrer, on peut se ramener par composition au cas particulier ${\displaystyle (y_{1},y_{2},y_{3})=(0,1,\infty )}$).