Couple (physique)

Les forces appliquées à un système physique tournant autour d'un axe réalisent un couple.

Le couple est au mouvement de rotation ce que la force est au mouvement de translation. Le couple est ce qui provoque une accélération angulaire, et une rotation dans le plan perpendiculaire à la direction du couple[2].

Dans la plupart des cas, on parle de couple pour analyser le mouvement d'une pièce mécanique capable de pivoter autour d'un axe fixe, mais sans degré de liberté dans ses autres mouvements. Une telle liaison mécanique transforme nécessairement en couple toute force extérieure qui lui est appliquée, parce que les points de liaison de l'axe imposent une réaction interne implicite. En pratique, en effet, ces points de liaison de l'axe ajoutent à la pièce mécanique des forces de réaction, induites par le système de force extérieur, ces forces de réaction jouant de telle manière que :

• la somme de toutes les forces externes et internes est nulle, puisque la pièce mécanique n'a pas de mouvement de translation ;
• la somme de tous les moments est alignée avec l'axe de pivotement de la pièce.

Il y a un rapport direct entre couple et moment, puisque le principal effet d'un couple est de créer un moment, et la manière idéale de créer un moment est de le faire par un couple, mais ce n'est pas la même nature d'objet.

On parle de moment d'une force, ou d'un système de forces, pour caractériser l'effet d'une force particulière par rapport à un axe de rotation. Dans ce cas il n'est pas nécessaire de tenir compte de la réaction de la liaison mécanique sur l'axe. Dans un système idéal sans déformation ni frottement, ces forces de réaction ne font en effet qu'équilibrer le système pour que son axe reste fixe ; et elles ne correspondent à aucun travail, elles peuvent donc être négligées dans l'étude dynamique du système.

En revanche, il est nécessaire d'en tenir compte pour bien visualiser l'ensemble des forces qui impose un mouvement à un solide : le véritable ensemble de forces extérieures à la pièce est celui qu'il faudrait mettre en place pour obtenir le même mouvement sans que l'axe soit tenu par ses points de fixation, donc en explicitant la réaction implicite de ces fixations. Ce complément étant apporté, il est possible d'étudier le mouvement de la pièce uniquement soumise à un ensemble de forces et sans liaison mécanique : cet ensemble de forces (y compris donc les forces de réaction sur l'axe) réalise un couple.

En réalité, le couple n'existe pas intrinsèquement. Il est toujours associé à un ensemble de forces s'annulant vectoriellement mais dont les moments s'ajoutent sans s'annuler. C'est par exemple le résultat de l'action du vent sur une éolienne, ou l'action des forces électromagnétiques sur le rotor d'un moteur électrique.

Fondamentalement, un moment est une grandeur physique pseudovectorielle tandis qu'un couple est la résultante d'une distribution de forces dont la somme vectorielle est nulle. Ce n'est donc pas le couple qui est la grandeur physique, mais le moment de ce couple. Dans l'analogie entre rotation et translation, l'analogue d'une force n'est donc en fait ni un « couple » ni un « moment », mais en toute rigueur le moment créé par un couple. En pratique, lorsque le contexte ne prête pas à confusion, on qualifie souvent de « couple » ce qui est en réalité le « moment du couple résultant ».

En mécanique auto, le couple de serrage est mesuré à l'aide d'une clé dynamométrique.

La plus simple, qui lui donne son nom, consiste à considérer un ensemble de deux forces :

• l'une, ${\displaystyle {\vec {F}}_{1}}$, appliqué en un point ${\displaystyle M_{1}}$ différent de l'origine ${\displaystyle O}$ fixée ;
• l'autre, ${\displaystyle {\vec {F}}_{2}\ =\ -\ {\vec {F}}_{1}}$, appliqué en un point ${\displaystyle M_{2}}$ symétrique du point ${\displaystyle M_{1}}$ par rapport à l'origine ${\displaystyle O}$.

Ainsi, la résultante ${\displaystyle {\vec {R}}\ =\ {\vec {F}}_{1}\ +\ {\vec {F}}_{2}\ =\ {\vec {0}}}$ est bien nulle. On suppose de plus que les vecteurs ${\displaystyle {\vec {F}}_{1}}$ et ${\displaystyle {\vec {F}}_{2}}$ ne sont pas colinéaires au vecteur ${\displaystyle {\vec {M_{1}M_{2}}}}$ ; le cas le plus simple consiste à prendre les deux forces perpendiculaires à ce vecteur :

Si on note la distance ${\displaystyle ||{\vec {OM}}_{1}||=||{\vec {OM}}_{2}||=d}$, la norme des forces ${\displaystyle ||{\vec {F}}_{1}||=||{\vec {F}}_{2}||=F}$, et ${\displaystyle {\vec {u}}}$ le vecteur unitaire perpendiculaire au plan de la figure, le couple vaut explicitement :

${\displaystyle {\vec {\Gamma }}\ =\ 2\ d\ F\ {\vec {u}}}$

On peut représenter le même couple ${\displaystyle {\vec {\Gamma }}}$ que dans l'exemple précédent par d'autres ensembles d'actions mécaniques. Par exemple, par deux forces :

• l'une, ${\displaystyle {\vec {F}}_{1}}$, appliquée au point ${\displaystyle O}$ ;
• l'autre, ${\displaystyle {\vec {F}}_{2}\ =\ -\ {\vec {F}}_{1}}$, appliquée en un point ${\displaystyle M_{3}}$ situé à une distance non nulle de l'origine ${\displaystyle O}$.

Ainsi, la résultante ${\displaystyle {\vec {R}}\ =\ {\vec {F}}_{1}\ +\ {\vec {F}}_{2}\ =\ {\vec {0}}}$ est toujours nulle. Pour simplifier, on peut encore supposer que les vecteurs ${\displaystyle {\vec {F}}_{1}}$ et ${\displaystyle {\vec {F}}_{2}}$ sont perpendiculaires au vecteur ${\displaystyle {\vec {OM_{3}}}}$ :

Pour retrouver la même valeur du couple : ${\displaystyle {\vec {\Gamma }}\ =\ 2\ d\ F\ {\vec {u}}}$, il suffit de prendre par exemple une combinaison du type :

• ${\displaystyle ||{\vec {OM}}_{3}||=d}$ et : ${\displaystyle ||{\vec {F}}_{1}||=||{\vec {F}}_{2}||=2F}$ ;
• ou : ${\displaystyle ||{\vec {OM}}_{3}||=2d}$ et : ${\displaystyle ||{\vec {F}}_{1}||=||{\vec {F}}_{2}||=F}$.

Il existe une infinité de représentations possibles.

Le moment en ${\displaystyle \mathrm {P} }$ de la résultante ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {R}}}$ de plusieurs forces ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {F}}_{1},{\vec {F}}_{2},{\vec {F}}_{3},\ldots }$ concourantes en un même point ${\displaystyle \mathrm {A} }$ est égal à la somme des moments en ${\displaystyle \mathrm {P} }$ de ces différentes forces :

${\displaystyle {\vec {M}}_{{\vec {R}}/\mathrm {P} }=\sum _{i}{\vec {M}}_{{\vec {F}}_{i}/\mathrm {P} }}$

avec ${\displaystyle \textstyle {\vec {R}}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}}$.

En effet :

${\displaystyle {\vec {M}}_{{\vec {R}}/\mathrm {P} }={\overrightarrow {\mathrm {PA} }}\wedge {\vec {R}}={\overrightarrow {\mathrm {PA} }}\wedge \left(\sum _{i}{\vec {F}}_{i}\right)=\sum _{i}{\overrightarrow {\mathrm {PA} }}\wedge {\vec {F}}_{i}=\sum _{i}{\vec {M}}_{{\vec {F}}_{i}/\mathrm {P} }}$

En aucun cas il n'est possible de déduire que « somme des moments = moment de la somme ». Cela n'est vrai que pour un ensemble de forces appliquées au même point. Cela montre enfin qu'une action mécanique n'est pas représentable par un seul vecteur force. La considération du point d'application est primordiale.

• Travail d'une force
• Moment d'une force
• Pseudovecteur
• Torseur

• (Histoire des sciences) Louis Poinsot, Éléments de statique, 1803, en ligne et commenté sur BibNum (mise en évidence de la notion de couple).