Nématique

Orientation moyenne des molécules et directeur n.

Les molécules composant le nématique ont une forme cylindrique, la plupart des propriétés caractéristiques des nématiques en découlent. Ainsi, le fluide nématique diffère du liquide isotrope par l'alignement spontané des molécules. La phase nématique naît de cet ordre d'orientation des molécules à grande distance, c'est un comportement collectif. L'orientation moyenne des molécules est appelée le directeur ${\displaystyle {\vec {n}}}$ et est définie à ${\displaystyle \pi }$ près[A 1].

La substance est biréfringente, optiquement uniaxe positif. L'observation d'un échantillon au microscope montre des fils à l'intérieur. En référence à ces défauts, observés dans les fluides cristallins de O. Lehman, G. Friedel nomma cette phase « nématique » (du grec νεμα « fil »)[1].

Si la viscosité de la phase nématique est du même ordre de grandeur que celle de la phase liquide isotrope, une forte anisotropie existe, la substance coule plus facilement lorsque l'écoulement est dans le sens du directeur que lorsqu'il est dans un plan perpendiculaire[2]. Dans ce dernier cas, l'écoulement peut tendre à modifier l'orientation du directeur. L'étude de l'écoulement d'un nématique sous contrainte est appelée nématodynamique.

Le diagramme de phase classique est modifié, la phase nématique s'intercalant entre la phase liquide et la phase solide (ou/et une phase smectique le cas échéant), certaines substances possédant un point triple liquide-nématique-solide et d'autres susceptibles d'accepter la phase nématique pour une pression nulle[B 1].

Distribution de l'orientation des molécules.

L'ordre d'orientation se mesure en général (avec la théorie de Mayer et Saupe) à partir du paramètre d'ordre ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}\langle 3cos^{2}(\varphi )-1\rangle }$ où ${\displaystyle \varphi }$ est l'angle d'une molécule avec le directeur et la mise entre crochet indique le calcul de la valeur moyenne sur un grand nombre de molécules[B 2]. À l'instar de la fonction de distribution de l'orientation des molécules, cette fonction possède une symétrie cylindrique suivant le directeur. Dans un liquide isotrope, aucune direction n'est privilégiée, on obtient exactement s=0 après la transition nématique-isotrope. Dans le cas d'un parallélisme parfait des molécules, on aurait s=1, mais en réalité, s n'atteint pas 1 et tourne aux alentours de 0,6 - 0,8 pour la phase nématique.

L'énergie libre (F) ne dépend pas de la direction d'orientation moyenne (c'est par exemple l'ancrage aux surfaces qui donne une direction privilégiée). Si l'orientation du directeur varie d'une région à l'autre du nématique, cela induit une distorsion et une augmentation de l'énergie libre.

L'expression d'Oseen-Frank permet de traduire l'énergie libre en fonction des distorsions spatiales des molécules dans le nématique. L'expression comprend quatre termes qui dépendent de l'orientation du directeur, cependant, le quatrième terme (proportionnel à la constant K2), dit « de surface » est négligé dans la majorité des cas. L'expression de l'énergie libre par unité de volume s'écrit[A 2] - [B 3] :

${\displaystyle f_{v}={\frac {1}{2}}K_{11}({\vec {\nabla }}.{\vec {n}})^{2}+{\frac {1}{2}}K_{22}({\vec {n}}.{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {n}})^{2}+{\frac {1}{2}}K_{33}({\vec {n}}\wedge ({\vec {\nabla }}\wedge {\vec {n}}))^{2}}$.

Le premier terme splay traduit les déformations en éventail du directeur, le second terme twist traduit les déformations en torsion du directeur, le troisième terme bend, traduit les déformations en courbure du directeur.

Les défauts dans les nématiques sont classés par théorie d'homotopie selon les 1^er, 2^d et 3^e groupes d'homotopie, séparant les textures des défauts ponctuels, des dislocations et hedgehogs. Les fils observés au microscope dans les nématiques sont des lignes de dislocation dans le fluide. Pour comprendre les disinclinaisons, il est possible d'utiliser l'approximation d'élasticité isotrope, on pose alors ${\displaystyle K_{11}=K_{22}=K_{33}=K}$.

L'expression de l'énergie libre se simplifie et devient :

Disposition des molécules dans le cas m=-1/2

${\displaystyle f_{v}={\frac {1}{2}}K({\vec {\nabla }}.{\vec {n}})^{2}+({\vec {\nabla }}\wedge {\vec {n}})^{2})}$.

On considère une ligne de disinclinaison le long de l'axe z, le directeur étant contraint dans le plan (x,y), il fait un angle ${\displaystyle \theta }$(x,y) avec l'axe x. Dans ce référentiel, le directeur ${\displaystyle {\vec {n}}}$ a pour coordonnées (cos(${\displaystyle \theta }$), sin(${\displaystyle \theta }$),0).

L'expression se calcule alors en fonction de ${\displaystyle \theta }$[A 3] - [B 4] :

${\displaystyle f_{v}={\frac {1}{2}}K\left[\left({\frac {\partial n_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial n_{y}}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial n_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial n_{x}}{\partial y}}\right)^{2}\right]={\frac {1}{2}}K\left[\left({\frac {\partial \theta }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \theta }{\partial y}}\right)^{2}\right]={\frac {1}{2}}K[{\vec {\nabla }}\theta ]^{2}}$.

Disposition des molécules dans le cas m=1/2

Cette énergie libre est minimale lorsque[3] ${\displaystyle \Delta \theta =0}$.

Les solutions ${\displaystyle \theta }$=constante correspondent à un champ uniforme. Les solutions sont du type ${\displaystyle \theta }$= m ${\displaystyle \phi }$ + constante où ${\displaystyle tg(\phi )=y/x}$ avec m entier ou demi-entier (car le directeur est défini à ${\displaystyle \pi }$ près)[A 4] - [B 5], la constante correspondant à une rotation du directeur. Cette équation permet de tracer les configurations du directeur correspondant aux différentes disinclinaisons observées, avec une singularité au centre[B 6].

L'énergie par unité de longueur de la distorsion s'écrit finalement :

${\displaystyle F=\int _{V}f_{v}dV={\frac {1}{2}}K\int _{r_{c}}^{r}(m/r)^{2}2\pi rdr=Km^{2}\pi ln(r/r_{c})}$ où ${\displaystyle r_{c}}$ est le rayon de coupure[A 5] (de l'ordre de la dimension moléculaire) que l'on peut estimer en comparant l'énergie du nématique à celle de la phase isotrope. De plus, comme l'énergie libre dépend de m², les configurations avec m petit sont plus favorables.

L'anisotropie diélectrique[4] dans les nématiques est à l'origine de la plupart des applications électrico-optiques. Les molécules composant le nématique sont particulièrement sensibles aux champs électromagnétiques. Elles portent un moment dipolaire (induit par le champ et/ou permanent, provenant de la différence de répartition des charges positives et négatives au sein de la molécule). En fonction de la valeur des coefficients de permittivité, les molécules tendent à s'orienter parallèlement ou perpendiculairement au champ électrique ${\displaystyle {\vec {E}}}$ et créent un champ de polarisation. Le champ de polarisation ${\displaystyle {\vec {E}}_{pol}}$ des molécules alignées contrebalance, en partie, le champ initial ${\displaystyle {\vec {E}}}$ (comme dans un condensateur en présence d'un diélectrique).

Si on identifie l'axe z avec celui du directeur, la matrice des constantes diélectriques s'écrit[5] :

${\displaystyle {\epsilon }={\begin{pmatrix}\epsilon _{1}&0&0\\0&\epsilon _{1}&0\\0&0&\epsilon _{2}\\\end{pmatrix}}}$ où ${\displaystyle \epsilon _{2}}$ est la constante diélectrique dans l'axe de la molécule (id. axe z ou axe du directeur).

Le vecteur polarisation s'écrit (approximation du premier ordre) :

${\displaystyle {\vec {P}}={\epsilon }{\vec {E}}}$

ou (suivant ses composantes) :

${\displaystyle P_{i}=\sum _{j}{\epsilon }_{ij}E_{j}}$

où le champ ${\displaystyle {\vec {E}}}$ possède des composantes Ex, Ey, Ez. Notons que le champ ${\displaystyle {\vec {E}}}$ n'est pas nécessairement aligné avec le vecteur polarisation (anisotropie : ${\displaystyle \epsilon _{1}}$≠ ${\displaystyle \epsilon _{2}}$), ni initialement avec la molécule.

Le couple exercé sur le directeur par le champ ${\displaystyle {\vec {E}}}$ est : ${\displaystyle {\vec {\Gamma }}={\vec {P}}\wedge {\vec {E}}}$.

Les composantes du couple sont donc : ${\displaystyle ({\Gamma }_{x}=(\epsilon _{1}-\epsilon _{2})E_{y}E_{z}}$, ${\displaystyle {\Gamma }_{y}=(\epsilon _{2}-\epsilon _{1})E_{x}E_{z}}$, ${\displaystyle {\Gamma }_{z}=0)}$. Si la différence ${\displaystyle \epsilon _{2}-\epsilon _{1}}$ est négative, le couple tend à aligner le directeur perpendiculairement au champ, si elle est positive, le directeur tend à s'aligner au champ.

La phase nématique est décrite par un fluide électronique qui brise spontanément une symétrie de l'Hamiltonien lors de l'échange de deux axes. Par exemple, dans un système avec une symétrie de quatre dans l'état normal, il y aura une symétrie de deux dans l'état nématique. Au contraire des cristaux liquides classiques, la phase quantique provient d'un système fortement corrélé avec des électrons comme particules ponctuelles. Cette phase est alors très différente de sa contrepartie classique. Un point très important de la phase nématique est sa coexistence fréquente avec d'autres phases quantiques comme l'ordre magnétique ou supraconducteur. Pour bien décrire et comprendre l'état nématique, il est pratique d'énoncer un paramètre d'ordre. Par exemple, pour une brisure de symétrie C₄ à C₂ dans le plan x-y, les paramètres d'ordre possible sont les suivants :

${\displaystyle {\mathcal {N}}={\frac {\rho _{xx}-\rho _{yy}}{\rho _{xx}-\rho _{yy}}}\quad \mathrm {ou} \quad {\mathcal {N}}={\frac {S(\mathbf {Q} )-S(\mathbf {Q} ')}{S(\mathbf {Q} )+S(\mathbf {Q} ')}}}$

où ${\displaystyle \rho _{ab}}$ est le tenseur de résistivité et ${\displaystyle S(\mathbf {Q} )}$ est le facteur de structure.

Dans d'autres systèmes, le paramètre d'ordre peut être énoncé de façon similaire. Le point important est que le paramètre est essentiellement zéro en dehors de la phase nématique et croit de plus en plus à l'intérieur de cette phase. Il existe une maille carrée avec des moments magnétiques qui sont orientés de façon aléatoire dans la phase désordonnée. Cette phase est désordonnée, mais isotropique, les propriétés électroniques seront les mêmes pour les différents axes cristallographiques. Dans la phase nématique, les moments s'alignent de façon anti parallèle d'une colonne à l'autre, mais comporte un alignement décentré par un petit angle. Dans l'état magnétique, les moments sont parfaitement alignés.

Dans un cas réel, il y aura une partie du système avec du désordre dans un déséquilibre thermodynamique. Ce désordre doit être pris en compte sous forme d'ajout à l'Hamiltonian d'origine:

${\displaystyle H_{dis}=\int d\mathbf {r} \mathrm {Tr} [h(\mathbf {r} ){\mathcal {N}}(\mathbf {r} )]}$

où h est un paramètre du désordre local et n'est aucunement lié à l'état nématique. L'ajout du désordre va modifier de façon importante le système nématique. Par exemple, pour un système nématique XY avec une dimension D<4 ou un système Ising de dimensions D≤2, aucune brisure de symétrie ne peut avoir lieu en présence de désordre. Pour les autres systèmes, malgré la brisure de symétrie, il est parfois difficile de distinguer entre les deux phases. Il est alors préférable de faire des mesures locales où la phase nématique sera présente sous forme de domaine avec une longueur de corrélation ${\displaystyle \xi _{domaine}}$.

• (en) S. Chandrasekhar, Liquid Crystals, Cambridge, Cambridge University Press, 1992, 460 p. (ISBN 978-0-521-41747-1, lire en ligne)
  Ouvrage de référence sur le sujet.
• (en) P.G. de Gennes, J. Prost, The Physics of Liquid Crystals, Oxford, Oxford Clarendon Press, 1993, 597 p. (ISBN 978-0-19-851785-6, lire en ligne)
  Ouvrage de référence sur le sujet.
• (en) H. Stegemeyer, Liquid crystals, New-York, Steinkopff Darmstadt Springer, 1994, 231 p. (ISBN 978-3-7985-0924-5, lire en ligne)
• (en) Collings P et Hird M, Introduction to liquid crystals, Taylor & Francis, 1997 (ISBN 978-0-7484-0483-4, lire en ligne)
• (en) A. Beris et A. Edwards, Thermodynamics of Flowing Systems : With Internal Microstructure, Oxford Science publications, 1994, 683 p. (ISBN 978-0-19-507694-3, lire en ligne)
• (en) E. Fradkin, S. A. Kivelson, M. L. Lawler, J. P. Eisenstein et A. P. Mackenzie, Nematic Fermi Fluids in Condensed Matter Physics, 2010, (en)https://arxiv.org/abs/0910.4166
• (en) Jérôme Hardoüin & al. (2019) Reconfigurable flows and defect landscape of confined active nematics| Nature Communications Physics |volume 2, Article number: 121 |04 October 2019

P.G. de Gennes et J. Prost 1993

S. Chandrasekhar 1992