Sommation de Ramanujan

La sommation de Ramanujan est essentiellement une propriété des sommes partielles plutôt que de la somme totale, puisque cette dernière n'existe pas. Si l'on considère la formule d'Euler-Maclaurin sous sa forme sommatoire utilisant les nombres de Bernoulli, on obtient :

${\displaystyle {\frac {1}{2}}f(0)+f(1)+\cdots +f(n-1)+{\frac {1}{2}}f(n)={\frac {1}{2}}\left[f(0)+f(n)\right]+\sum _{k=1}^{n-1}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,{\rm {d}}x+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k+1}}{(k+1)!}}\left[f^{(k)}(n)-f^{(k)}(0)\right]+R_{p}.}$

Ramanujan[1] a écrit, dans le cas où p tend vers l'infini :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{x}f(k)=C+\int _{0}^{x}f(t)\,{\rm {d}}t+{\frac {1}{2}}f(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(x)}$

où C est une constante spécifique à cette fonction et son prolongement analytique (les limites de l'intégrale n'ont pas été fournies par Ramanujan, mais les valeurs rajoutées ci-dessus sont très probables). En comparant les deux formules et en supposant que R tend vers 0 quand x tend vers l'infini, on déduit dans le cas général, pour les fonctions f(x) non divergentes en x = 0 :

${\displaystyle C(a)=\int _{0}^{a}f(t)\,{\rm {d}}t-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0)}$

là où Ramanujan supposait que a = 0. En choisissant a = ∞, on retrouve la sommation habituelle pour les séries convergentes. Pour les fonctions f(x) non divergentes en x = 1, on obtient :

${\displaystyle C(a)=\int _{1}^{a}f(t)\,{\rm {d}}t+{\frac {1}{2}}f(1)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(1).}$

C(0) a alors été proposé comme valeur de la somme de la série divergente. Elle relie la sommation à l'intégration.

La version convergente de sommation, pour les fonctions possédant la bonne condition de croissance, est alors :

${\displaystyle f(1)+f(2)+f(3)+\dots =-{\frac {f(0)}{2}}+{\rm {i}}\int _{0}^{\infty }{\frac {f({\rm {i}}t)-f(-{\rm {i}}t)}{\mathrm {e} ^{2\pi t}-1}}\,{\rm {d}}t}$.

Par la suite, ${\displaystyle (\Re )}$ indique une sommation de Ramanujan. Cette notation vient de l'un des carnets de Ramanujan, sans aucune indication disant que c'est une nouvelle méthode de sommation.

Par exemple, la sommation ${\displaystyle (\Re )}$ de 1 – 1 + 1 – ⋯ est :

${\displaystyle 1-1+1-\cdots ={\frac {1}{2}}\ (\Re )}$.

Ramanujan a calculé ces sommations particulières pour des séries divergentes connues. Il est important de noter que les sommations de Ramanujan ne sont pas des sommes de séries au sens habituel du terme[2] - [3] ; en particulier, les sommes partielles ne convergent pas vers cette valeur, signalée par le symbole ${\displaystyle (\Re )}$. Par exemple, la sommation ${\displaystyle (\Re )}$ de 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ donne :

${\displaystyle 1+2+3+\cdots =-{\frac {1}{12}}\ (\Re )}$

Plus généralement, on obtient pour les puissances positives paires :

${\displaystyle 1+2^{2k}+3^{2k}+\cdots =0\ (\Re )}$

et pour les puissances impaires, on obtient une relation avec les nombres de Bernoulli :

${\displaystyle 1+2^{2k-1}+3^{2k-1}+\cdots =-{\frac {B_{2k}}{2k}}\ (\Re );}$ ces résultats coïncident avec ceux obtenus par la méthode dite de régularisation zêta.

Dans sa seconde lettre à Godfrey Harold Hardy, datée du 27 février 1913, Ramanujan écrit :

Le roman de David Leavitt The Indian Clerk (en) inclut une scène où Hardy et Littlewood discutent du sens de ce passage[4].

• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• Sommation de Borel
• Sommation de Cesàro